Kreisteile berechnen: Bogenquadrat

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08.01.2005, 20:49	Laura____	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisteile berechnen: Bogenquadrat Hi, ich hab mal eine Frage zum Thema Kreisausschnitte berechnen. Ich hab das zwar verstanden mit Sektoren und Abschnitten und so, aber wie kommt man auf die Formel für den Flächeninhalt eines Bogenquadrats (hier sieht man es), die Formel steht zwar dabei, aber ich versteh nicht wie man darauf kommt, weil mir zum Berechnen immer ein Teilstück fehlt. Die beiden länglichen aus zwei Bögen bestehende Zweiecke kann ich zum Beispiel berechnen, weil sie ja aus 2 Kreisabschnitten bestehen, aber eben nicht die Fläche, die sie beide zusammen haben. Wie geht das? Bitte helft mir, weil ich sowas für die Schule machen muss. Wahrscheinlich ist es ganz einfach, aber ich komm einfach nicht drauf. Danke schon mal im Vorraus!!
08.01.2005, 21:24	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich kenne nur einen fürchterlich umständlichen Weg, was anderes fällt mit gerade nicht ein. Vielleicht werden dadurch ja weitere und Antworten für einfachere Lösungswege ausgelöst ... Ich würde also die Schnittpunkte von 2 nicht gegenüberliegenden Punkten des Bogenvierecks bestimmen und daraus deren Entfernung, ergibt die Seitenlänge des Quadrates, und gleichzeitig die Sehenlänge eines der Kreisabschnitte. Damit kann dann die Flächenberechnung erfolgen.
08.01.2005, 21:43	Laura___	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Ich versteh was du meinst, aber um Schnittpunkte zu bestimmen, müsste ich doch mit einem Koordinatensystem arbeiten, oder? Und wie kann ich ich die denn überhaupt berechnen? Ich weiß leider nicht wie das geht, sogut bin ich nicht in Mathe
08.01.2005, 21:57	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, hier eigentlich nicht. Die Formeln für gleichseitige und rechtwinklige Dreiecke musst du aber schon kennen. Nimm mal den oberen Schnittpunkt über der mit a bezeichneten Seite des Quadrates. Wie groß sind die Radien der Viertelkreise, die sich dort schneiden? Ziehe in Gedanken Verbindunslinien von dem Schnittpunkt zu den unteren beiden Ecken, was für ein Dreieck entsteht? Was hat das Dreieck für eine Höhe? Was ist nun der Abstand des Schnittpunktes vom Mittelpunkt des Quadrates? Wie groß ist nun der Abstand vom Mittelpunkt des Quadrates zum links liegenden Schnittpunkt? Was ist das für ein Dreieck aus Mittelpunkt des Quadrates und zwei benachbarten Schittpunkten? Das sollte erstmal reichen, denke ich.
08.01.2005, 22:18	Laura___	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid für die blöde Fragerei, jetzt hab ichs auch kapiert, dass ein gleichseitiges Dreieck entsteht Natürlich kenn ich die Formeln dafür. Darf ich mal versuchen, das hier hinzuschreiben, damit ich weiß, ob es richtig ist? Also für die Höhe würde dann doch gelten: $\begin{eqnarray} h^{2} = a^{2} - \frac{1}{4} a^{2} \end{eqnarray}$ Dann müsste der Abstand vom Mittelpunkt die Höhe minus 1/2a sein. Jetzt kann man die Kantenlänge des "Quadrates" (im Bogenquadrat liegend) ausrechnen und den Flächeninhalt und den zu den 4 Flächeninhalten der Kreisabschnitte addieren.
08.01.2005, 22:27	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauso meinte ich das. Viel Erfolg bei der Rechnerei.
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08.01.2005, 22:30	Laura___	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!!!
08.01.2005, 22:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte eine Alternative anzubieten. Ich beziehe mich mit den Bezeichnungen auf den von Laura angegebenen Link. Rechne so: BOGENQUADRAT = 2 mal LINSE minus ORBITAL Die Linse ist nicht schwer zu berechnen (das hast du vielleicht schon gemacht), und wie man das Orbital berechnet, zeigt das Bild.
08.01.2005, 23:47	Laura___	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist natürlich noch besser, wobei man ja gar nicht die Linse und das Orbital verwenden muss, da genau diese gelbe Fläche eine Teilfläche ist, die ich gebraucht hätte. Jetzt kann ich ja einfach die Quadratfläche minus dem Flächeninhalt des Viertelkreis mit dem Radius der Kantenlänge des Quadrates, dann habe ich den Flächeninhalt des Stücks was außerhalb des Sektors im Quadrat liegt. Jetzt muss ich zweimal die Fläche des gelben Stücks abziehen und schon habe ich den Flächeninhalt des "Arms" des rotgefärbten Stücks. Jetzt muss ich nur noch viermal das kleine gelbgefärbte Stück und viermal den Arm des rotgefärbten Stück vom Flächeninhalt des Quadrates abziehen und jetzt habe ich den Flächeninhalt des Bogenquadrates. Stimmt das?
08.01.2005, 23:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und noch ein Tip: Man kann sich bei solchen Aufgaben die Arbeit dadurch erleichtern, daß man das Rechnen mit Formeln bis zum Schluß aufschiebt und nur mit den anschaulicheren Figuren (die symbolisch für die zugehörigen Flächeninhalte stehen) rechnet. Ich zeige einmal, wie ich das meine, an der Berechnung des Orbitals. Ich bezeichne mit QUADRAT ein Quadrat der Seitenlänge a DREIECK ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a KREIS einen Kreis vom Radius a Ich beziehe ich mich auf die Figur in meinem vorigen Beitrag. 1. SCHRAFFUR = DREIECK + 2•(1/12) KREIS = DREIECK + (1/6) KREIS 2. (1/4) GELB = QUADRAT – SCHRAFFUR = QUADRAT – (DREIECK + (1/6) KREIS) = QUADRAT – DREIECK – (1/6) KREIS 3. ORBITAL = QUADRAT – GELB = QUADRAT – 4(QUADRAT – DREIECK – (1/6) KREIS) = –3 QUADRAT + 4 DREIECK + (2/3) KREIS Und jetzt muß man nur noch die bekannten Formeln für die Figuren einsetzen.
09.01.2005, 00:33	Laura___	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe!! Jetzt bin ich um einiges schlauer.
15.12.2009, 21:46	Monstabacke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh das immer noch nicht ganz!!!Würde es aber aus Neugier gerne nachrechnen können!!! Ich verstehe nicht wo Leopold das gleichseitige Dreieck hernimmt!! Würde mich über Hilfe freuen!!!

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