Abbildungen über dem Einheitskreis

08.01.2005, 21:03

TomBombadil

Abbildungen über dem Einheitskreis

Hi!

Ich habe hier im Forum schon öfters fragen zu einem Thema gestellt, mit dem ich mich zu Zeit beschäftige. Da meine Fragen aber immer vom "Umfeld abhängen". Versuche ich mal mein thema etwas darzustellen. Vielleicht erbarmt sich ja jemand sich in das Thema einzudenken und mir bei meinen Fragen zu helfen.

Also hier wir gehen:

Vom Prinzip betrachte ich Abbildungen, die vom Einheitskreis auf den Einheitskreis abbildet. Der Raum S1 ist hierbei alle Winkel zwischen 0 und 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Somit stellt S1 unseren Einheitskreis dar. Mich interessiert die Dynamik solcher Abbildungen. Also wann haben sie periodische Punkte, un d wann nicht. (periodische Punkte der periode k sind solche punkte, die nach k-maligen Iteriiren der Fkt wieder auf sich selbst abbgebildet werden.).

Ebenso betrachte ich nur Abbildungen, die orientierungstreue Diffeomorphismen sind.

Um nun das Problem "handeln zu können" müssen wir die Abbildung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liften. (anheben).

Dazu haben wir zunächst die Hilfsfunktion:

$\begin{eqnarray*} \pi(x) = e^{2\pi*x*i} = cos (2\pi x) + sin(2\pi x * i) \end{eqnarray*}$

i ist die imaginäre Einheit. Also $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ bildet ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf den einheitskreis ab.

Damit kann man nun den "Lift" definieren.

F: R-> R ist ein Lift für f: S1->S1 , falls gilt:

$\begin{eqnarray*} \pi(x) o F = f o \pi(x) \end{eqnarray*}$ (o bedeutet verknüpft)

F soll eine stetige Fkt sein.

Bsp:

Wenn f: S1 -> S1
f(x) = x + $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

Dann ist F (x) = x + 1 + k für alle k element der ganzen Zahlen ein Lift für f.

Man kann zeigen, dass es für jedes f unendlich viele lifts existieren, die sich jeweils immer um eine ganze Zahl unterscheiden.

Der Lift hat folgende Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} F(x+k) = F(x) + k \end{eqnarray*}$ für alle ganzen Zahlen.

Damit folgt direkt:

$\begin{eqnarray*} F(x + 1) - (x+1) = F(x) - x \end{eqnarray*}$ .

D.h. F(x) - x iste eine periodische Funktion der Periode 1.

Man soll nun zeigen können(und hier kommt eine meine ersaten Fragen), dass nun gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x)^{n} - x \end{eqnarray*}$ ist ebenso periodisch mit Periode 1. ( $\begin{eqnarray*} F^{n}(x) \end{eqnarray*}$ ist der Lift von $\begin{eqnarray*} f^{n}(x) \end{eqnarray*}$ )
(also das ist noch klar, aber jetzt....)

Es gilt |x-y| < 1 , dann gilt auch | $\begin{eqnarray*} F^{n}(x) -F^{n}(y)| < 1 \end{eqnarray*}$

Wie kann man das zeigen. Also das ganze geht noch weiter. Ich würde mich freuen, wenn mir trotzdem jemand helfen will

Mfg

Tom

08.01.2005, 21:24

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Stetigkeit?
Es gibt zu gegebenen f noch viel mehr F's - es sei denn, du hast eine "Kleinigkeit" vergessen:

Dass nämlich F auch stetig sein soll. Das wiederum ist aber nur realisierbar, wenn auch f stetig ist.

Ist es also richtig, dass du nur stetige f,F betrachtest? Die Eigenschaften, von denen du vorgibst, dass F sie haben soll, legen diesen Schluß nahe.

Außerdem scheint mir die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \pi\circ F(x) = f\circ \pi(x) \end{eqnarray*}$
einleuchtender.

08.01.2005, 21:27

TomBombadil

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RE: Stetigkeit?
@ArthurDent

Das mit dem vertauchten Argument stimmt, wäre besser. Außerdem betrachten wir nur diffeomorphismen. Ich dachte das würde mit einschliessen, dass diese stetig sind. Wenn nicht können wir das durchaus annehmen...

08.01.2005, 21:30

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RE: Stetigkeit?
Ja, OK, dann ist f stetig - hatte ich überlesen.

Bei F sollte man die Stetigkeit aber trotzdem dazuschreiben.

08.01.2005, 21:34

TomBombadil

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RE: Stetigkeit?
Ich hab das mit F soll stetig sein dazugeschrieben. Ist dir dieses Thema eigentlich schon einmal begegnet?

08.01.2005, 21:49

quarague

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ich würde in deine Ungleichung die 'fette Null' (x-y) einsetzen. Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist F^n(x)-x = 0 und F^n(y)-y = 0 damit hast du deine Ungleichung.
Ansonsten müsste man bei deiner Problemstellung doch mit ein bisschen Topologie etliches zeigen können. Jeder Kreisdiffeomorphismus ist homotop zu einer Abbildung der Form cos(2kxPi)+i sin(2kxPi) für genau eine ganze Zahl k (k>0 bei orientierungserhaltung) . In dieser Abbildung sind dann alle Punkte periodisch mit k (leider bleibt diese Eigenschaft unter Homotopie nicht erhalten)

08.01.2005, 22:00

TomBombadil

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die fette Null?? versteh ich jetzt nicht, sry Waraus folgerst du, dass $\begin{eqnarray*} F^n(x)-x = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Also das versteh ich nicht.....

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion bzw. unterlasse solche Pushposts (MSS)

edit: Sorry hab ich irgendwie geschafft in zwei posts zu schaffen, sorry. Was soll den ein Puhpost sein...

09.01.2005, 10:42

TomBombadil

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Ich werde das Thema mal weiter schreiben, denn da kommen noch einige Fragen, die ich mir nicht beantworten kann.

Also alles aus dem ersten post wird hier nun angenommen:

Nun will ich eine "Charakterzahl" für solche Abbildungen auf dem Einheitskreis bauen. Das ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die die durchschnittliche Rotation eines Punktes, bei n-maligen Itterieren der Fkt. angibt. Dazu müssen wir aber erst einiges abklären:

Es sei f : S1 -> S1 und F ein beliebiger Lift von f, dann

$\begin{eqnarray*} po(F) = \lim_{n \to \infty }\frac{F^{n}(x)}{n} \end{eqnarray*}$

eine anscheinend sinnvolle Definition der Rotationszahl.

Ich möchte aber die Rotationszahl für alle x angeben, d.h ich muss zeigen, dass die Rotationszahl unabhängig von x ist. Das soll so gehen:

Wir wissen aus dem 1. Post :

$\begin{eqnarray*} F^{n} - x \end{eqnarray*}$ ist periodisch.

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} F^{n}(x) - F^{n}(y) \leq |(F^{n}(x)-x) - (F^{n}(y)-y)| + |x-y| \end{eqnarray*}$

und so

$\begin{eqnarray*} \leq 1+ |x-y| \end{eqnarray*}$

der letzte Schritt soll direkt aus den Bemerkungen, die ich oben beschrieben habe folgen. Wieso? Die 1 versteh ich nicht. Der erste Umformungs Schritt ist ja wohl nur das addieren einer "Null", also +(x-x+y-y)

Gedanken zum zweite Schritt von mir wäre: Der Abstand zweier Funktionswerte auf einer periodischen Funktion ist nie grösser als die Periode selbst. Stimmt das, oder ist das Blödsinn? Aber könnte man dann nicht an die Stelle von 1 auch jede beliebige weitere ganze Zahl schreiben?

Zumindest soll daraus folgen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{F^{n}(x) - F^{n}(y)}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Das wäre ja gegeben, wenn man den Zähler immer kleiner einer beliebigen ganzen Zahl hätte.

Vielen Dank! für die Hilfe im Vorraus

Tom

11.01.2005, 19:02

TomBombadil

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Ich hoffe ich habe niemanden mit meinem "puh-post" verärgert. War mit sicherheit nicht meine Absicht. Aber ich hab bisher immer noch nicht mein Problem nicht gelöst. Vielleicht kann mir ja doch noche iner versuchen das zu erklären, was quargue hiermite meint. Vor allem ist mir unklar, warum F^n(x)- x = 0 ist?

Vielen Dank jetzt schon für Eure Mühe

TomBombadil

Zitat:

Original von quarague
ich würde in deine Ungleichung die 'fette Null' (x-y) einsetzen. Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist F^n(x)-x = 0 und F^n(y)-y = 0 damit hast du deine Ungleichung.
Ansonsten müsste man bei deiner Problemstellung doch mit ein bisschen Topologie etliches zeigen können. Jeder Kreisdiffeomorphismus ist homotop zu einer Abbildung der Form cos(2kxPi)+i sin(2kxPi) für genau eine ganze Zahl k (k>0 bei orientierungserhaltung) . In dieser Abbildung sind dann alle Punkte periodisch mit k (leider bleibt diese Eigenschaft unter Homotopie nicht erhalten)

12.01.2005, 14:12

quarague

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habe mich erst ewig gewundert warum mein BSP mit k mal um den Kreis laufen nur zu komischen Sachen führt, bis ich über das Wort Diffeomorphismus gestolpert bin.
Also f ist ein Diffeo, also bijektiv, Pi ist auch bijektiv, daraus folgt
F ist bijektiv
damit gilt auch, F ist streng monoton wachsend (fallend geht nicht, wegen orientierungserhaltend)
damit ist |F(x+1)-F(x)|=1 und daraus folgt die erste Ungleichung mit n=1.
Ausserdem gilt, das die Operationen 'Liften' und 'n-mal iterieren' vertauschbar sind (kann man mit der Def für Liften leicht induktiv zeigen)
Damit gilt die Ungleichung für alle n da f n mal iteriert ja auch wieder ein Diffeo mit den gefordertern Eigenschaften ist.

Wenn man oBdA festlegt F(0)=0 ergibt sich F(n)=n für alle n natürlich, damit
hat die Funktion F(x)-x genau bei allen n natürlich eine Nullstelle und nimmt nur Werte aus dem Interevall [0,1] an, damit folgt die Abschätzung in deinem zweiten Post. Damit folgt dann auch die Grenzwertberechnung.

das wurde jetzt irgendwie so einfach, das ich ein bisschen befürchte igendeinen wesentlichen Denkfehler begangen zu haben, aber ich sehe im Moment keinen :-)

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