stetigkeit komplexer funktionen/potenzreihenentwicklung

08.01.2005, 23:40	laarisha	Auf diesen Beitrag antworten »
stetigkeit komplexer funktionen/potenzreihenentwicklung Nabend! Es wär riesig wenn mir hierbei einer helfen könnte...: 1.) folgende Funktion ist auf Stetigkeit zu überprüfen f: C\R-->C (C=Menge der komplexen Zahlen) mit $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{Re(z)}{Im(z)} \end{eqnarray}$ 2.) geg ist die Funktion w: C-->C mit $\begin{eqnarray} w(z)=z-ln\frac{z-2}{z+2} \end{eqnarray}$ a) w ist in eine Potenzreihe um z=0 zu entwickeln b) w ist in eine Laurentreihe um z=unendlich zu entwickeln Danke schon mal laarisha
09.01.2005, 00:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
1) is ganz einfach: Machs mit Folgenstetigkeit. Aus $\begin{eqnarray} z_n\to z \end{eqnarray}$ folgt ja $\begin{eqnarray} Re(z_n)\to Re(z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Im(z_n)\to Im(z) \end{eqnarray}$ . Einsetzen und fertig.
09.01.2005, 09:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} \frac{z-2}{z+2} \end{eqnarray}$ für reelle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ zwischen -2 und 2 negative Werte annimmt, kann der vorkommende Logarithmus nicht der Hauptzweig sein. Man muß also z.B. den Zweig mit $\begin{eqnarray} 0<\operatorname{arg}{s}<2\pi \end{eqnarray}$ wählen. Jetzt kann man mittels $\begin{eqnarray} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}z} \left( \log{\frac{z-2}{z+2}} \right) = \frac{4}{z^2-4} = - \frac{1}{1-\left( \frac{z}{2} \right)^2} \end{eqnarray}$ die Ableitung in eine Reihe entwickeln und dann die Reihe integrieren. Die Integrationskonstante ist so zu wählen, daß sich für $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ der Wert $\begin{eqnarray} \log{\frac{0-2}{0+2}} = \log{(-1)} = \operatorname{i} \pi \end{eqnarray}$ ergibt. Für die Entwicklung um $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ braucht man dagegen den Hauptzweig des Logarithmus, also $\begin{eqnarray} -\pi < \operatorname{arg}{s} < \pi \end{eqnarray}$ . Dann ist der $\begin{eqnarray} \log \end{eqnarray}$ -Ausdruck holomorph für $\begin{eqnarray} z \not \in [-2,2] \end{eqnarray}$ . Der Trick ist derselbe wie oben, nur wird man jetzt so umformen: $\begin{eqnarray} \frac{4}{z^2-4} = \frac{4}{z^2} \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{2}{z} \right)^2} \end{eqnarray}$ Zur Bestimmung der Integrationskonstante setze $\begin{eqnarray} z = \infty \end{eqnarray}$ .
09.01.2005, 12:15	laarisha	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, bis hierher danke schon mal. Das Problem ist jetzt nur, dass wir noch nicht ableiten und integrieren können. Das muss irgendwie über anders gehen!? Och menno, ich blick da voll nicht durch....
09.01.2005, 13:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann formen wir mit geeigneten Zweigen des Logarithmus um (die folgenden Ausdrücke sind nur modulo einem ganzzahligen Vielfachen von $\begin{eqnarray} 2 \pi \operatorname{i} \end{eqnarray}$ gleich): $\begin{eqnarray} \log{\frac{z-2}{z+2}} \ = \ \log{(z-2)} - \log{(z+2)} \ = \ \log{ \left( -2 \left( 1 - \frac{z}{2} \right) \right) } - \log{ \left( 2 \left( 1 + \frac{z}{2} \right) \right) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \log{2} + \pi \operatorname{i} + \log{ \left( 1 - \frac{z}{2} \right) } \ - \ \log{2} - \log{ \left( 1 + \frac{z}{2} \right) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \pi \operatorname{i} + \log{ \left( 1 - \frac{z}{2} \right) } - \log{ \left( 1 + \frac{z}{2} \right) } \end{eqnarray}$ Und jetzt machen wir daraus eine richtige Gleichung. Bei den beiden letzten Logarithmen nehmen wir den Hauptweig, also mit dem Argument zwischen $\begin{eqnarray} - \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , bei dem Logarithmus ganz vom Anfang nehmen wir den Zweig mit dem Argument zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ . Wegen der Stetigkeit dieser Zweige für $\begin{eqnarray} \|z\|<2 \end{eqnarray}$ gibt es daher eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \log{\frac{z-2}{z+2}} \ = \ \pi \operatorname{i} + \log{ \left( 1 - \frac{z}{2} \right) } - \log{ \left( 1 + \frac{z}{2} \right) } \ + k \cdot 2 \pi \operatorname{i} \end{eqnarray}$ Und wenn man $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ einsetzt, findet man, daß auch $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ sein muß. Insgesamt haben wir also mit den Zweigen, wie oben festgelegt: $\begin{eqnarray} \log{\frac{z-2}{z+2}} \ = \ \pi \operatorname{i} + \log{ \left( 1 - \frac{z}{2} \right) } - \log{ \left( 1 + \frac{z}{2} \right) } \end{eqnarray}$ Und hier kannst du rechts in den (hoffentlich bekannten) Potenzreihen für $\begin{eqnarray} \log{(1-w)} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \log{(1+w)} \end{eqnarray}$ die Substitution $\begin{eqnarray} w = (\pm) \frac{z}{2} \end{eqnarray}$ vornehmen. Dann mußt du noch die beiden Potenzreihen voneinander subtrahieren und erhältst die Potenzreihe für den Ausgangsterm. Und wenn du mit diesem Zugang auch nichts anfangen kannst, dann weiß ich auch nicht mehr weiter. Irgendetwas über komplexe Logarithmen muß man schließlich wissen, wenn man solche Aufgaben lösen soll.
09.01.2005, 21:28	laarisha	Auf diesen Beitrag antworten »
das kommt mir schon was bekannter vor - jetzt werd ich mal sehn, was ich so damit zustande bringe.... danke!
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