Kugelgeometrie

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13.05.2007, 16:12	Ami	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelgeometrie Hallo ich bin hier neu und hab eine Frage zu einer Mathe Aufgabe . Also ich hab eine Gerade h gegeben. $\begin{eqnarray} h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Diese soll in einer Tangentialebene T1 liegen, was auch stimmt. $\begin{eqnarray} T1: (\vec{x} -\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ Nur dann kommt mein Problem, da der nächste Schritt lautet: und bestimme eine Gleichung der zweiten Tangentialebene T2 an K (Kugel), die ebenfalls h enthält. $\begin{eqnarray} K: (\vec{x} -\begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} )²=89 \end{eqnarray*}$ Wie kann ich T2 berechnen, meiner Meinung nach ist T2 identisch mit T1 und dann wäre das eine anderer Gleichung für das selbe. Oder wie ist das?
13.05.2007, 17:08	Primzahl	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist ein denkfehler, wenn du glaubst, dass T1 und T2 identisch sind. das kann zwar sein, muss es aber nicht. du hast folgende informationen zu T2 gegeben. 1. sie berührt k. 2. sie enthält die gerade h. das dürfte reichen, um die aufgabe zu lösen.
13.05.2007, 18:16	Ami	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist schon klar, aber wenn h in T1 enthalten ist, dann kann es doch nicht auch noch in T2 enthalten sein, wenn T2 eine andere Tangentialebene sein soll oder? Moment jetzt hab ich grad ne Idee, wenn h die Schnittgerade der Tangentialebenen ist, dann wäre das doch möglich oder?
13.05.2007, 18:48	Primzahl	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so ist es und da ich nicht die vollständige aufgabenstellung kenne, gehe ich davon aus, dass sie meinen das T1 und T2 sich bei h schneiden.
13.05.2007, 21:29	Ami	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ich hab das jetzt versucht. Es funktioniert aber einfach nicht. Ein Ansatz war, das ich 2 Punkte, die auf der Geraden h liegen nehme und von dem noch unbekannten Punkt p zu den Geradenpunkte die Ebene aufspanne, also die Ebene über die Parameterform aufspanne. Das problem ist nur, dass ich die Kugelgleichung nicht zum Punkt umstellen kann. Mein zweiter Ansatz war die Berechnung der Schnittgerade der Beiden Ebenen rückwärts zugehen um dadurch auf die Ebene zu kommen. naja, ich hab 3 Ergebnisse, die absolut verschieden sind. Und dann hab ich noch ein paar andere Versuche gemacht. Jetzt bin ich fertig und blick gar nicht mehr durch. Die Ebenen treffen die Kugel nicht. Hilfe!!!
13.05.2007, 21:31	Ami	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls jemand nach dem Weg fragt, den ich gerechnet habe, ich werde den nur in eingescannter Form reinstellen,, da ich nicht alle x seiten abschreibe. Aber ich habs wirklich versucht!
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14.05.2007, 10:51	Primzahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein erster Ansatz klingt schon halbwegs vielversprechend, deinen zweiten ansatz würde ich zu gerne sehen. Ich frage mich wie du bei deinem ersten ansatz die Ebene mit nur zwei Punkten erstellen kannst oder hab ich was an deiner Erklärung nicht ganz verstanden. Also es wäre hilfreich, wenn man die Gleichung der Tangentialebene benutzt, die wie folgt lautet: $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\vec{m} )(\vec{b} -\vec{m} )=r^2 \end{eqnarray*}$ Du kennst sowohl den Mittelpunkt als auch den Radius der Kugel. Du weißt auch mehrere Punkte auf der Tangentialebene, was du jedoch nicht weißt ist, der Berührpunkt von T2 mit der Kugel. Den findest du mit dieser Gleichung heraus. Du brauchst genau 3 Gleichungen in Koordinatenform die du dann nach den Koordinaten des Berührpunktes B auflöst, aber du kannst nicht alle alle Gleichungen durch die obige ermitteln. Wie du die 3. Gleichung findest, kannst du selber überlegen.
14.05.2007, 13:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mit dem normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ der tangentialebene(n) und 2 punkten P und Q der ebene (hier der schnittgeraden) hast du folgendes system zu lösen $\begin{eqnarray} (\vec{p}-\vec{m})\cdot\vec{n}=r² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{q}-\vec{m})\cdot\vec{n}=r² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n²=r² \end{eqnarray}$ das ergibt schon bekannt $\begin{eqnarray} \vec{n}_1=(-4/8/3)^{T} \end{eqnarray}$ und gesucht $\begin{eqnarray} \vec{n}_2=(-8/4/3)^{T} \end{eqnarray}$ und mit punkt und normalenvektor sollte $\begin{eqnarray} T_2 \end{eqnarray}$ kein problrm mehr sein tip: skizze hilft immer werner
14.05.2007, 14:53	Ami	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Dann versuch ich das mal. Danke.
14.05.2007, 18:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst das problem ohne formelkrimskrams auch so lösen: die gesuchte tangentialebene T habe die form: $\begin{eqnarray} ax+by+cz+d=0 \quad{ }\text{mit}\quad{ }a²+b²+c²=1 \end{eqnarray}$ also dem normiertennormalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n}_0=(a/b/c)^{T}. \end{eqnarray}$ dann hast du: 1) für den aufpunkt von g gilt: $\begin{eqnarray} P\in T \end{eqnarray}$ 2) für den richtungsvektor von g hast du $\begin{eqnarray} \vec{r} \cdot \vec{n} _0=0 \end{eqnarray}$ 3) für dem mittelpunkt der kugel $\begin{eqnarray} M(m_1/m_2/m_3) \end{eqnarray}$ gilt mit der HNF: $\begin{eqnarray} am_1+bm_2+cm_3=\pm r \end{eqnarray}$ daraus folgt dasselbe ergebnis wie oben, (allerdings normiert) werner

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