Additionstheoreme

09.01.2005, 12:05

emmi*

Additionstheoreme

Hallo,
habe da einige Probleme damit, wie man mit den Additionstheoremen rechnet. Z.B. hab ich hier im Forum gesehen, dass
cos(4x)=cos²(2x)-sin²(2x) ist.
Mein Problem ist nun, wie wurde dann das 4x dadrin verarbeitet, bzw. was muss ich beachten bei der Anwendung von Theoremen, wenn ich cos(4x) oder cos(16x) habe???
Meine Aufgabe ist z.B. zu zeigen, dass sin²(x/2)=1/2(1-cosx) ist.
Also, sin²x = 1-cos²x. Ist dann sin²(x/2)=(1-cosx)/2???
Und kann ich die x/2 hinter dem sinus irgendwie durch mal 2 wegkriegen?
Sorry, aber Schule ist schon so lange her und ich hab wirklich keine Ahnung mehr. Hilfe, wer kann mir das erklären?
traurig

09.01.2005, 12:46

Leopold

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Leite zunächst eine Formel her für $\begin{eqnarray*} \cos{(2t)} \end{eqnarray*}$ , indem du das Additionstheorem des Cosinus auf $\begin{eqnarray*} \cos{(t+t)} \end{eqnarray*}$ anwendest. Wirf in der Formel, die du erhältst, den $\begin{eqnarray*} \cos^2{t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \cos^2{t} = 1 - \sin^2{t} \end{eqnarray*}$ heraus. Substituiere schließlich $\begin{eqnarray*} t = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ und löse nach dem Gewünschten auf.

09.01.2005, 13:00

Emmi*

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Additionstheoreme
Danke.
Aber kannst du mir vielleicht nochmal erklären, wie man denn nun mit dem Argument hinter cos oder sinus umgeht? Also wenn da z.B. steht: cos(16x), dann wende ich ja irgendwie das Theorem für cos(2x) an. wie und wo kommen da denn die 16x (von cos16x) hin und warum? Sorry, aber mir fehlen einfach die Grundlagen...

09.01.2005, 13:07

JochenX

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cos(16x)=cos(2*8x) und dann cos(2t)=.... drauf anwenden.
[würde ich sagen]

mfg jochen

09.01.2005, 13:15

Emmi*

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Additionstheoreme
Danke für die schnelle Antwort. Aber das, was ich wissen will, ist einfach, wie man GANZ ALLGEMEIN mit den Theoremen arbeite, wie ZUM BEISPIEL wenn ich ANSTATT cos(2x) cos(16x) HÄTTE, ich dann das Theorem für cos(2x) anwende. Meine Frage: WIE löse ich das für cos(16x), also ich hab einfach ein Problem mit den 16x (könnten aber auch 20x oder 60x oder so sein). WO kommen die WIE hin und WARUM? Ich weiß, die Frage ist wahrscheinlich zu simpel, aber..... Hilfe!!!

09.01.2005, 13:55

Mathespezialschüler

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Das wurde doch eigentlich schon hinreichend erklärt:

Du weißt ja, dass $\begin{eqnarray*} \cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \cos(16x)=\cos(2\cdot (8x))=\cos^2(8x)-\sin^2(8x) \end{eqnarray*}$

Klar? Augenzwinkern

09.01.2005, 19:32

Emmi*

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Klar! Bin wohl n bisschen aufm Schlauch gestanden... Danke!

11.01.2005, 15:57

Gast

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Zitat:

Original von Leopold
Leite zunächst eine Formel her für $\begin{eqnarray*} \cos{(2t)} \end{eqnarray*}$ , indem du das Additionstheorem des Cosinus auf $\begin{eqnarray*} \cos{(t+t)} \end{eqnarray*}$ anwendest. Wirf in der Formel, die du erhältst, den $\begin{eqnarray*} \cos^2{t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \cos^2{t} = 1 - \sin^2{t} \end{eqnarray*}$ heraus. Substituiere schließlich $\begin{eqnarray*} t = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ und löse nach dem Gewünschten auf.

Könntest Du das nochmal kurz erläutern: Ich komm da nicht so ganz weiter:

$\begin{eqnarray*} \cos(x+x) = \cos^{2}(x) - \sin^{2}(x) = 1- \sin^{2}(x) \end{eqnarray*}$

Was wird denn da beim letzten Schritt gemacht? Ich verstehe noch nicht wie man wieder auf den geforderten Term kommt.

11.01.2005, 18:19

Leopold

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Zitat:

Original von Gast
$\begin{eqnarray*} \cos(x+x) = \cos^{2}(x) - \sin^{2}(x) = 1- \sin^{2}(x) \end{eqnarray*}$

Das letzte Gleichheitszeichen ist nicht richtig.

12.01.2005, 21:06

Gast

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Zitat:

Original von Leopold
Wirf in der Formel, die du erhältst, den $\begin{eqnarray*} \cos^2{t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \cos^2{t} = 1 - \sin^2{t} \end{eqnarray*}$ heraus.

Könntest Du vielleicht diesen letzten Schritt noch etwas genauer erklären, wir sitzen hier gerade davor und es klappt einfach nicht.. Bringt mich der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \cos^{2}(x)- \sin^{2}(x)= 2\cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$

irgendwie weiter? Bitte erlöse zwei Blinde! verwirrt

12.01.2005, 21:50

Mathespezialschüler

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Ja, das ist genau das richtige!! Insgesamt habt ihr dann

$\begin{eqnarray*} \cos(2t)=2\cos^2(t)-1 \end{eqnarray*}$

Wenn ihr jetzt noch für t=x/2 einsetzt, dann erhaltet ihr die Formel für $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

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