Parameterdarstellung

09.01.2005, 15:46

Wolfi

Parameterdarstellung

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Eine Kurve C1 sei gegeben in Parameterdarstellung :

$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{a(t^{2}-1)}{t^{2}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=\frac{at(t^{2}-1)}{t^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Man gebe für C die Darstellung in karthesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten an.

Ich muss versuchen t Variable zu elemenieren...

$\begin{eqnarray*} x(t^{2}+1)=a(t^{2}-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xt^{2}+x=at^{2}-a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xt^{2}-at^{2}=-a-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^{2}(x-a)=-a-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^{2}=\frac{-a-x}{x-a}= \frac{a+x}{a-x} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich $\begin{eqnarray*} t^{2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ einsetzen...

Und was setze ich für t ein?

etwa

$\begin{eqnarray*} t=+-\sqrt{\frac{a+x}{a-x} } \end{eqnarray*}$

wie muss ich dann vorgehen..

Danke

Alex

09.01.2005, 16:05

etzwane

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y/x=t folgt sofort aus den beiden ersten Gleichungen,
und mit deiner letzten Gleichung (habe ich nicht nachgerechnet) folgt sofort die eine gesucht Darstellung y=f(x).

EDIT: ergänzt
Und mit y/x=tan(phi) und x²+y²=r² läßt sich auch die Darstellung in Polarkoordinaten finden, wobei einige trigonometrische Umformungen anfallen dürften.

09.01.2005, 18:03

Wolfi

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wenn ich in diese Gleichung

$\begin{eqnarray*} y(t)=\frac{at(t^{2}-1)}{t^{2}+1} \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} t^{2}=\frac{a+x}{a-x} \end{eqnarray*}$

und für

$\begin{eqnarray*} t=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

einsetze

kriege ich $\begin{eqnarray*} y=y \end{eqnarray*}$ raus.

Was hat das zu bedeuten?

Hilfe

09.01.2005, 18:42

etzwane

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Nein, du kriegst doch raus: y=x*t, und da den Ausdruck für t = t(x) einsetzten

09.01.2005, 20:13

Wolfi

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meinst du es so:

$\begin{eqnarray*} y=t*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{2}= t^{2}*x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{2}= \frac{a+x}{a-x}*x^{2} \end{eqnarray*}$

und wie mache ich weiter,
Sorry für dumme Frage, aber ich komme wirklich nicht weiter....

Please

Hilfe

09.01.2005, 20:21

etzwane

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Zitat:

Original von Wolfi
$\begin{eqnarray*} y^{2}= \frac{a+x}{a-x}*x^{2} \end{eqnarray*}$

und wie mache ich weiter,

Einfach die Wurzel ziehen auf beiden Seiten, dann hast du doch die verlangte Darstellung y=f(x) in kartesischen Koordinaten.

09.01.2005, 20:25

Wolfi

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Ist es keine Hyperbel oder Elippse so wie es da steht?

09.01.2005, 20:33

etzwane

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ich glaube nicht, hier mal ein Plot für a=8:

Ich habe mal in einer Formelsammlung nachgeschaut, diese Kurve heißt Strophoide.

09.01.2005, 22:09

Wolfi

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AHA

Vielen Dank

Das hat mir weiter geholfen...

Wie komme ich auf Polakkordinatendarstellung?

$\begin{eqnarray*} y^{2}=x^{2}* \frac{a+r*cos(phi)}{a-r*cos(phi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}* \frac{a+r*cos(phi)}{a-r*cos(phi)}-y^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Weiter bin ich leider nicht gekommen...

Hammer

09.01.2005, 22:37

etzwane

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Zitat:

Original von Wolfi
Wie komme ich auf Polarkoordinatendarstellung?

Habe ich weiter oben schon beschrieben, lies bitte dort nach.

09.01.2005, 22:40

Wolfi

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$\begin{eqnarray*} x^{2}* \frac{a+r*cos(phi)}{a-r*cos(phi)}-y^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich in dem Fall $\begin{eqnarray*} x^{2}+ y^{2} \end{eqnarray*}$

09.01.2005, 22:53

etzwane

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So hätte ich es nicht gemacht.

Du hast doch x=x(t) und y=y(t). Damit kannst du r²=x²+y² bilden.

Dann ist noch tan(phi)=y/x.

Beides geschickt kombiniert miteinander, ergibt mit r=r(phi) die Polarkoordinatendarstellung. In dieser Gleichung darf dann kein x, y oder t mehr vorkommen.

Versuch es.

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