gemeinsame Verteilung von Zufallsgrößen

13.05.2007, 21:38

Sunwater

gemeinsame Verteilung von Zufallsgrößen

Hi...

ich habe folgende Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariable mit:

$\begin{eqnarray*} P(X_i = k) = (1-p)^k +, k = 0,1,..., i=1,2, 0 \leq p \leq 1 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} Z:= \operatorname{max} (X_1,X_2) \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von Z und X_1 und die Verteilung von Z.

ich bin noch gar nicht so richtig durch das Thema Zufallsvariable durchgestiegen - deswegen wäre ein bisschen Hilfe wirklich gut.

Soweit ich das verstehe sind die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ eigentlich die gleichen Abbildungen. Die Wahrscheinlichkeiten sind für alle natürlichen Zahlen und der Null definiert. Die gemeinsame Verteilung gibt doch jetzt die Wahrscheinlichkeit für ein Tupel (a,b) von zwei natürlichen Zahlen bezüglich der Zufallsvariablen Z und X_1 oder?

Aber wie sieht die Wahrscheinlichkeit einer natürlichen Zahl unter der Abbildung Z aus?

ich hab das Gefühl, dass ich den grundlegenden Gedanken der Aufgabe nicht ganz verstehe - könnt ihr mir das erklären?

danke schonmal - Sunwater

13.05.2007, 21:49

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Zitat:

Original von Sunwater
$\begin{eqnarray*} P(X_i = k) = (1-p)^k + \end{eqnarray*}$

Sieht nicht sehr sinnvoll aus... Sehr wahrscheinlich meinst du

$\begin{eqnarray*} P(X_i = k) = (1-p)^k p,\quad k = 0,1,...,\quad i=1,2,\quad 0 \leq p \leq 1 \end{eqnarray*}$ ,

also geometrisch verteilte $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ .

Zunächst mal kennst du die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ , denn wegen der Unabhängigkeit gilt

$\begin{eqnarray*} P(X_1=k,X_2=j) = P(X_1=k)\cdot P(X_2=j) \end{eqnarray*}$

Aus der Maximumdefinition kannst du nun die gesuchten Verteilung von $\begin{eqnarray*} (X_1,Z) \end{eqnarray*}$ - das sind also ebenfalls wieder Wkt $\begin{eqnarray*} P(X_1=k,Z=j) \end{eqnarray*}$ - darauf zurückführen. Dazu ist es aber nötig, die Fälle $\begin{eqnarray*} k<j \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k=j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k>j \end{eqnarray*}$ getrennt zu behandeln...

14.05.2007, 13:43

Sunwater

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ja sorry - da oben stehen natürlich geometrisch Verteilte Zufallsvariablen...

ok - ein Versuch:

wenn k<j ist, dann heißt das $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ hat den Wert von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ angenommen.

also: $\begin{eqnarray*} P(X_1 = k, Z=j) = P(X_1=k,X_2=j) = (1-p)^{k+j}p^2 \end{eqnarray*}$

für k=j ist $\begin{eqnarray*} Z = X_1 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} P(X_1=k,Z=j) = P(X_1=k,X_1=k) = P(X_1=k)^2 = (1-p)^{2k}p^2 \end{eqnarray*}$

und schließlich für k>j gibt es einen Widerspruch, denn das hieße ja, dass Z einen Wert angenommen hat, der von X_1 übertroffen wird, aber Z ist ja das Maximum - also ist die WK hierfür 0.

richtig so?

14.05.2007, 13:56

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Zitat:

Original von Sunwater
wenn k<j ist, dann heißt das $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ hat den Wert von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ angenommen.

also: $\begin{eqnarray*} P(X_1 = k, Z=j) = P(X_1=k,X_2=j) = (1-p)^{k+j}p^2 \end{eqnarray*}$

Vollkommen richtig.

Zitat:

Original von Sunwater
für k=j ist $\begin{eqnarray*} Z = X_1 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} P(X_1=k,Z=j) = P(X_1=k,X_1=k) = P(X_1=k)^2 = (1-p)^{2k}p^2 \end{eqnarray*}$

Nein, da bist du auf dem Holzweg: Das Maximum wird von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ angenommen, ja. Das ist aber äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} P(X_1=k,Z=k) = P(X_1=k,X_2\leq k) = P(X_1=k)\cdot P(X_2\leq k) = \cdots \end{eqnarray*}$

Da musst du noch etwas rechnen...

Zitat:

Original von Sunwater
und schließlich für k>j gibt es einen Widerspruch, denn das hieße ja, dass Z einen Wert angenommen hat, der von X_1 übertroffen wird, aber Z ist ja das Maximum - also ist die WK hierfür 0.

Wieder richtig.

14.05.2007, 22:32

Sunwater

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ok - danke erstmal soweit.

für den zweiten Fall hätte ich dann:

$\begin{eqnarray*} P(X_1=k,X_2 \leq k) &= (1-p)^k p ( \sum_{j=0}^k P(X_2=j)) = (1-p)^k p ( \sum_{j=0}^k (1-p)^jp) \\ &=(1-p)^k p (p \frac{1-(1-p)^{k+1}}{1-(1-p)}) = (1-p)^k p ( 1- (1-p)^{k+1}) = p((1-p)^k - (1-p)^{2k+1}) \end{eqnarray*}$

haut das hin?

und für die Verteilung von Z würde ich über die Randverteilung der gemeinsamen Verteilung gehen?

15.05.2007, 09:06

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Zweimal Ja. Freude

15.05.2007, 12:36

Sunwater

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gut...

und für Z summiere ich über alle natürlichen Zahlen k die Wahrscheinlichkeiten P(X_1=k,Z=j). Dabei teile ich die unendliche Summe in drei Teile auf, die gerade den drei Fällen entsprechen und nach ein bisschen Rechnen komme ich als Ergebnis auf:

$\begin{eqnarray*} P(Z=j) = p[2(1-p)^j - (1-p)^{2j} - (1-p)^{2j+1}] \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 14:07

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Da muss ich selber erstmal nachrechnen ... hab dasselbe raus. Zur Kontrolle kann man ja zumindest mal überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{\infty} P(Z=j) = 1 \end{eqnarray*}$ rauskommt, wie es sich gehört.

Bei der vorliegenden, "teleskopsummen-ähnlichen" ( Augenzwinkern

) Struktur sieht man schnell, dass dieses Kontrollergebnis hinhaut. Freude

15.05.2007, 18:16

Sunwater

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cool - vielen dank!!! Tanzen

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