gruppen, ringe, körper

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mauzel Auf diesen Beitrag antworten »
gruppen, ringe, körper
Hallöchen,

ich bin gerade dabei mich für die Klausur in LAAG vorzubereiten. Leider habe ich immer wieder Probleme damit Gruppen, Körper und Ring auseinander zu halten. Vieleicht kann mir dabei einer von euch helfen. Wo genau liegen die Unterschiede zwischen Gruppen, Körpern...?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich werde vorausetzen, das du mit den begriffen was anfangen kannst, sonst nachfragen.


du hast eine g menge G auf der eine verknüpfung definiert ist.
und zwar von GxG nach G.... bislang ist das nur ein magma.
jetzt nimmst du assoziativität hinzu... schon hast du eine halbgruppe...
ein neutrales element (eindeutig, rechts- und linksneutral).... du hast ein monoid...
zusätzlich noch ein inverses zu jedem..... fertig ist die gruppe.....
(ist zusätzlich kommutativität gegeben: abelsche gruppe)

nun wählst du eine menge R mit 2 verknüpfungen ("+" und "*")
bzgl. "+" hast du eine abelsche gruppe, bzgl. "*" gilt assoziativität und (falls ring mit eins) es existiert ein neutrales bzgl. "*"
ausserdem gelten die distributivgesetze für die verbindung von "+" und "*".
fertig ist der ring. (gilt bzgl "*" zusätzlich kommutativität hast du einen kommutativen ring)

zusätzlich nun noch inverse bzgl. "*" zu jedem der elemente außer dem additiven neutralelement, dann hast du einen schiefkörper.
ein kommutativer schiefkörper ist dann ein körper.

noch fragen?
habe ich was vergessen?

mfg jochen
mauzel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube damit sind alle unklarheiten beseitigt.

Dankeschön!
56u Auf diesen Beitrag antworten »

trj
reen13 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo wir grad bei Ringen sind:

Untersuchen Sie die folgenden Strukturen auf ihre algebraischen Eigenschaften
(Ring, kommutativer Ring, Ring mit neutralem Element, Körper
(a) (M;+;*)mit M = ({m + n*sqr(2)} | n,m el. Z) und +,* sind Addition
bzw. Muliplikation reeller Zahlen.

Ichb in soweit, dass ich nachgewiesen habe, dass

Kommuntativität gilt:

(M,+)
für alle a,b,c el. M: a*b+a*c=a*c+a*b

Assoziativität:

(M,*)
für alle a,b,c el. M: a*(b*c)=(a*b)*c

So und nun zur Distributivität:

Ich hab das wieder so gemacht, dass:

a*(b+c)=a*b+a*c

und

(a+b)*c=a*c+b*c

aber das wird ja niemals distributiv? Oder hab ich da einen Denkfehler drin (auch bei den anderen Sachen evtl.)? Muss ich für jede Operation separat die Distr. nachweisen oder wie? ICh steh grad auf dem Schlauch Ôo.

Danke für euere Hilfe

René
thoroh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von reen13

aber das wird ja niemals distributiv? Oder hab ich da einen Denkfehler drin (auch bei den anderen Sachen evtl.)?


Wie hast du es dir denn gedacht? Wie be- oder widerlegst du hier die Distributivität?

lg
thoroh
 
 
reen13 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
naja be- oder widerlegen würde ich das ganze, indem ich zeige, dass a*(b+c)=a*b+a*c (Links-Distrb.) und (a+b)*c=a*c+b*c (Rechts-Distrb.) gilt. Soweit ich das jetzt durchblickt habe, trifft das ja zu, denn für die Elemente a,b,c el. M gilt das ja so. Aber es ergebit nicht dasselbe, wenn ich Beispielzahlen einsetze. Ist das der Knackpunkt, oder müssen beide Operationen nicht gleich sein (sprich, Ergebnis Linksdistrib. = Ergebnis RechtsDistrib.)? ICh sitze grad an einer anderen Aufgabe und dort sollen wir zeigen, dass etwas _kein_ Körper ist und dort bin ich an dem Punkt angelangt, dass das Ergebnis der Linksdistributivität nicht dem der Rechstdistributivität entspricht. Ist das der entscheidene Punkt? Oder muss ich ganz anders denken? Reichen meine anderen Beweise auch so aus (für Assoziativität und Kommut.)?

René
thoroh Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ich dich richtig verstehe, machen wir ein Beispiel aus den reellen Zahlen, die ja bekanntlich einen Körper bilden.

a=2, b=3, c=4

a*(b+c)=2*(3+4)=2*7=14
(a+b)*c=(2+3)*4=5*4=20

Ist es das, was dich stört?

Zitat:

Assoziativität:

(M,*)
für alle a,b,c el. M: a*(b*c)=(a*b)*c


Das muss gezeigt werden.

lg thoroh
reen13 Auf diesen Beitrag antworten »

Jaa, genau das. Ich glaube, es handelt sich dabei nur um ein Verständnisproblem bei mir.

Dieses Beispiel habe ich auch gehabt. Doch wie soll ich nun zeigen, dass das gilt? Ich keinen Ansatz, wie ich das zeigen soll, denn für mich IST es so ;D VOn daher, habe ich auch keine Idee bzw. Vorstellung was ich wie nachweisen kann. Dass die Assoziativität gilt, erkennt man ja, aber muss ich das noch beweisen und ja, wie? Das gleich bei der Distributivität. :/

Danke für deine Hilfe,

Lg, René
reen13 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab mich mal am Nachweis für die Assoz. versucht:

((m+n*sqr2)*(m+n*sqr2))*(m+n*sqr2)

==

(m^2 + m*n*sqr2 + m*n*sqr2 + 2*n^2)*(m+n*sqr2)

==

(m^2 + 2*m*n*sqr2 + 2*n^2)*(m+n*sqr2)

(durch kommutativität kann ich das ganze vertauschen, oder?)

somit:

(m+n*sqr2)*(m^2 + 2*m*n*sqr2 + 2*n^2) <- binomische F.

==

(m+n*sqr2)*((m+n*sqr2)*(m+n*sqr2))

Ich hoffe, das stimmt so ;D

LG, René
thoroh Auf diesen Beitrag antworten »

Seien





mit

Die Multiplikation zweier Elemente aus M ist so definiert:



Da und wiederum Elemente von sind, ist .

Für die Assoziativität ist nun zu zeigen, dass für alle gilt:

genügt da nicht.

lg
thoroh
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