Anzahl Lösungen einer Gleichung

09.01.2005, 19:02

BraiNFrosT

Anzahl Lösungen einer Gleichung

Seien $\begin{eqnarray*} a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{x-a_k} = c \end{eqnarray*}$

für c=0 genau n-1 und für c =! 0 genau n Lösungen hat.

Okay, wenn ich mir das als Funktion aufzeichne, dann seh ich das.

Aber wie zeige ich das nun mathematisch ? In Intervalle zerlegen
und dann irgendwie mit dem Zwischenwertsatz ?

Vielen Dank schonmal für eure Mühe.

09.01.2005, 19:18

etzwane

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Ich würde erstmal links und rechts mit dem Hauptnenner multiplizieren und dann nach der höchsten auftretenden Potenz von x schauen (aber ich bin kein Mathematiker, ich sehe nicht alle möglichen und denkbaren Fallstricke!).

09.01.2005, 19:20

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RE: Anzahl Lösungen einer Gleichung

Zitat:

Original von BraiNFrosT
Aber wie zeige ich das nun mathematisch ? In Intervalle zerlegen
und dann irgendwie mit dem Zwischenwertsatz ?

Genau so!

Ist übrigens sehr verwandt mit Problem B1 der IMO 1988:
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo88.html

09.01.2005, 19:32

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von BraiNFrosT
$\begin{eqnarray*} a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ist das nicht egal? Is doch nur wichtig, dass sie paarweise verschieden sind!!?