Logarithmus differenzieren

09.01.2005, 22:10

mot

Logarithmus differenzieren

Im Rahmen eines Beweises (zZ.: Arsinh x = ln (x+sqrt(1+x^2)) scheitere ich am Ende bei einer dämlichen Umformung muss ich nun zeigen, dass die Ableitung von ln(x+sqrt(1+x^2)) gleich 1/sqrt(x^2+1) ist. Irgendwie scheitere ich an der Aufgabe.

Als "Roh-Ableitung" ohne Umformung habe ich:

1/(x+sqrt(1+x²)) * (1 + 1/2 (1+x²)^-1/2 * 2x)

Wäre sehr nett wenn ihr mir mal eine kleine Hilfestellung gäbet.

09.01.2005, 22:22

Anirahtak

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Hallo,

du musst nur noch den zweiten Faktor auf den Hauptnenner bringen.
Dann kannst du kürzen und schon stehts da.

Gruß
Anirahtak

09.01.2005, 22:44

Leopold

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Und hier ein Weg über die Umkehrfunktion. Ich verwende:

$\begin{eqnarray*} \cosh^2{y} - \sinh^2{y} = 1 \end{eqnarray*}$

Da der $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ nur positive Werte hat, folgt:

$\begin{eqnarray*} \cosh^2{y} = \sqrt{1 + \sinh^2{y}} \end{eqnarray*}$

Und nun berechnet man im Leibnizschen Kalkül:

$\begin{eqnarray*} y = \operatorname{arsinh}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sinh{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y} = \cosh{y} = \sqrt{1 + \sinh^2{y}} = \sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

09.01.2005, 22:51

mot

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Mhk, habs schon selbst hingekriegt. smile