partielle Integration HILFE

10.01.2005, 12:21

minerva

partielle Integration HILFE

Tach haben folgende Aufgabe die mit folgender Formel lösen wollte:

Integral u' * v dx = u * v - Integral uv' dx

Hier die Aufgabe:

Integral cos^2x dx

Ich komme nicht auf das Ergebnis! Hoffe ihr könnt mir helfen!

Gruss

10.01.2005, 12:27

klarsoweit

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RE: partielle Integration HILFE
du meinst das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~(cos(x))^2~dx \end{eqnarray*}$
Schreibe das so:
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~cos(x) \cdot cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
und nehme u' = cos(x) und v = cos(x)
Integriere partiell, wandle (sin(x))² in (cos(x))² um und dann nochmal partiell integrieren.

10.01.2005, 12:36

minerva

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ja das mit cos(x)*cos(x) steht auch im Lösungsansatz! Also muss ich zwei mal partiell integrieren?

Ich raff das nicht!

10.01.2005, 12:44

klarsoweit

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ja, nur Mut, mach mal die 1. partielle Integration und dann sehen wir weiter. Augenzwinkern

10.01.2005, 13:17

minerva

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also wenn ich das ein mal gemacht habe müsste doch folgendes rauskommen:

(cos(x))^2 - Integral -(sin(x))^2dx

oder?

Gruss

10.01.2005, 13:26

klarsoweit

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nein. Als erstes steht das Produkt aus u und v da, also:
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~cos(x) \cdot cos(x)~dx = sin(x) \cdot cos(x) - \int_{ }^{ }~sin(x) \cdot (-sin(x))~dx \end{eqnarray*}$
kleine Korrektur zum vorigen Beitrag von mir. Es reicht eine partielle Integration.
Jetzt sin²(x) durch Term mit cos²(x) ausdrücken und das Integral von cos²(x) von rechte auf die linke Seite der Gleichung schaffen.

10.01.2005, 13:28

minerva

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ja so habe ich das auch da stehen aber weiter weiss ich nicht! Ich habe mir den Lösungsweg nicht vernünfig aufgeschrieben! Non MIST!....

10.01.2005, 13:30

klarsoweit

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macht ja nichts. Die partielle Integration ist erstmal klar, oder? Also jetzt ersetze sin²(x) durch Term mit cos²(x) und schreib das mal hin.

10.01.2005, 13:33

minerva

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Oh man sorry, wie meinst du das? Ich stehe aufm Schlauch gerade! Hammer

10.01.2005, 13:44

klarsoweit

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dieser Schritt war klar?:
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~cos(x) \cdot cos(x)~dx = sin(x) \cdot cos(x) - \int_{ }^{ }~sin(x) \cdot (-sin(x))~dx \end{eqnarray*}$
im letzten Integral steht doch (abgesehen vom Vorzeichen) sin²(x).
Bekanntlich gilt: sin²(x) + cos²(x) = 1
Jetzt ersetze in dem Integral das sin²(x) und schreib das Ergebnis hin.

10.01.2005, 14:46

minerva

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... ok

dann habe ich doch da stehen (cos(x) * -sin(x) - Integral -1 -(cos(x))^2

mit dem Vorzeichen weiss ich nicht so genau!

10.01.2005, 14:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von minerva
dann habe ich doch da stehen (cos(x))^2 - Integral -1 -(cos(x))^2

wie kommst du auf das vordere cos(x))^2 ?
Ich schreibe es nochmal hin:
u'(x) = cos(x) ==> u(x) = sin(x)
v(x) = cos(x) ==> v'(x) = -sin(x)
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~cos(x) \cdot cos(x)~dx = sin(x) \cdot cos(x) - \int_{ }^{ }~sin(x) \cdot (-sin(x))~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = sin(x) \cdot cos(x) - \int_{ }^{ }~(cos(x))^2 - 1~dx \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~cos(x) \cdot cos(x)~dx = sin(x) \cdot cos(x) + x - \int_{ }^{ }~(cos(x))^2~dx \end{eqnarray*}$
nun addiere auf beiden Seiten das Integral von (cos(x))²
was steht dann da?

10.01.2005, 14:58

minerva

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jo sorry hatte mich verschrieben. Aber woher hast du jetzt das +X ?

Oh man ich stell mich aber auch blöde an heute?

GRUSs

10.01.2005, 15:02

klarsoweit

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also da stand doch folgender Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} - \int_{ }^{ }~(cos(x))^2 - 1~dx \end{eqnarray*}$
ok? das ist dasselbe wie:
$\begin{eqnarray*} - \int_{ }^{ }~(cos(x))^2~dx + \int_{ }^{ }1~dx \end{eqnarray*}$
jetzt rate mal, was eine Stammfunktion von f(x) = 1 ist! Augenzwinkern

10.01.2005, 15:05

minerva

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jo habe das auch gerade erst gesehen! Vielleicht habe ich den Sinn der Partiellen Integration noch nicht so richtig verstanden.
Weiss nicht warum du das so gemacht hast! Ok bis dahin hab ich es jetzt....

10.01.2005, 15:08

klarsoweit

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fein, jetzt wie schon gesagt auf beiden Seiten das Integral von (cos(x))²
addieren. Schreibe das Ergebnis mal vollständig hin.

10.01.2005, 15:13

minerva

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jo habs also

2 Integral (cos(x))^2 = sin x * cos x +1

=> Integral (cos(x))^2 = sinx*cosx +1 / 2 gelle!

weiss nur nicht warum ich vorher einfach das Integral von minus auf Plus umstelle und dann rüber schiebe!...

10.01.2005, 15:18

klarsoweit

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leider nicht ganz richtig. Es muß heißen:
2 * Integral (cos(x))^2 = sin x * cos x + x
bzw.: Integral (cos(x))^2 = (sin x * cos x + x) / 2
du kannst das Ergebnis ja mal ableiten.
Und das andere: Ich wüsste jetzt nicht, wo ich ein Integral von minus auf Plus umgestellt hätte. Ich habe allenfalls die Vorzeichen ordentlich durchgezogen.
Und das Rüberschieben: nun ja, irgendwann will man eine Lösung da stehen haben.

10.01.2005, 15:22

minerva

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jap, PLUS X sollte es heissen. Ich muss mich mal mehr konzentrieren. Gut bedanke mich für die super Antworten und die Geduld!

Was mach ich denn wenn ich z.B Integral arcsinx dx stehen habe wo mir ja sozusagen das u' oder das v fehlt.
Ist es eigentlich egal was als mein v und was ich als mein u' nehme?

10.01.2005, 15:24

iammrvip

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Zitat:

Original von klarsoweit
2 * Integral (cos(x))^2 = sin x * cos x + x
bzw.: Integral (cos(x))^2 = (sin x * cos x + x) / 2

$\begin{eqnarray*} 2\int \cos^2(x)~dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \cos^2(x)~dx = \frac{\sin(x) \cdot \cos(x) + x}{2} \end{eqnarray*}$

wozu haben wir $\begin{eqnarray*} \end{align*}\LaTeX\begin{align*} \end{eqnarray*}$ verwirrt

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