Satz von Vieta

14.05.2007, 13:36

Zisky1992

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Satz von Vieta

Ich habe folgendes problem und zwar
die Aufgabe lautet:
Gegegeben sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung x1 =1,5 und x2= -0.5 . Formuliere mit Hilfe des Satzes von Vieta die zugehörige quadratische Gleichung in der Normalform und in der Scheitelpunktsform!

Ich bin zu dem Ergebnis gekommen :

Normalform : x² + 1x -0,75

und die scheitelpunktform ~> (x+0,5)² - 1

Stimmt das?

Tanzen

Tanzen

14.05.2007, 13:42

tigerbine

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RE: Satz von Vieta
Interessant wäre ja bei dieser Aufgabenstellung gewesen wenn Du uns den Rechenweg zeigen würdest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Außerdem fehlt eine Angabe in der Aufgabenstellung. Nach deinen Lösungen soll es sich um eine Normalparabel handeln, d.h. in der Normalform gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$

Das sehe ich aber nirgendwo stehen verwirrt

verwirrt

Wie hast du den Vieta angewendet Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

14.05.2007, 13:51

KleineFreche

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Grüss dich,

der Satz des Vietas ist zwar schon sehr lange her (und eigentlich nur rumspielerei, weil ich das jetzt mit der Lsg formel geamcht hätte anstatt mich an diesen Satz zu errinnern), doch ich hab grad noch mal gegoogelt:

ALSO, ich find dein Ergebnis irgendwie komisch

a) fehlt das f(x) = ... (denn was jetzt dasteht ist nur ein Term)

und falls ich diesen Satz richtig verstanden hab,m müssten die Vorzeichen glaube umgedreht werden

@tigerbiene:

guck mal, ich hab das hier gefunden

"Sucht man die Lösungen zur Gleichung 0 = x2 + x - 6 , so kann man versuchen, den rechten Teil der Gleichung in ein Produkt umzuformen. Dies geht oft recht gut, wenn Du z.B. die obigen Beispiele rückwärts liest. In diesem Fall kann die Zahl "-6"entstanden sein als das Produkt der Zahlen "2"und "-3"oder auch von "-2"und "3"oder ... Nun muss aber auch die Summe der beiden Werte passen: es muss die erste Zahl plus zweite Zahl den Wert vor dem "x" mit umgekehrten Vorzeichen ergeben! Hier passt die Kombination "2"und "-3".

Es gilt also:

0 = x2 + x - 6 anders:
0 = (x - 2) • (x + 3) und damit:
x1 = 2 und x2 = -3
"

es sieht also so aus, als ob der Vieta gebildet wird, wenn y= 0 ist...(das meinte Zisky bestimmt mit Lösungen einer quadratischen Gleichung)
und wenn ich jetzt die x-Werte in das BSP oben einsetze, komme ich auf das:

0= (x-1,5)(x+0,5)

0= x^2 -1,5x+ 0,5x - 0,75

0= x^2 -1x - 0,75

auf jeden Fall wären dann x1 und x2 Lösungen von der Gleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2007, 13:52

Zisky1992

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Bei dem satz von vieta gilt ja:
x1 + x2
und x1* x2

da kommt raus x1 + x2 = 1
und x1* x2 = -0,75

in die umwandlung der scheitelpunktform

=x²+0,5x+0,25-0,25-0,75
=(x+0,5)² -1

14.05.2007, 14:00

KleineFreche

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???dann kommst du doch aber auf f(x) = x^2 +0,5x -0,75

EDIT: oder auch nicht... doch wie kamst du jetzt auf die 0,5x bei der Scheitelumformung

und sorry...doch dein Ergebnis mit +1x stimmt nicht... wenn du in f(x) = x^2 +x-0,75 für x= 1,5 und y=0 dann kommst du nicht auf eine wahre Aussage

doch ich kann dir auch nicht sagen warum... deine Rechenweise sagt mir nichts.

14.05.2007, 14:04

Zisky1992

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hm keine ahnung..in meiner klassenarbeit wurde weil ich vorher -1 hatte nur das vorzeichen angestrichen...
traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

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14.05.2007, 14:07

tigerbine

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Was gilt denn für $\begin{eqnarray*} x_1+x_2,~x_1\cdot x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

wikipedia
In der Mathematik betrachtet man quadratische Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0\, \end{eqnarray*}$

über deren Lösungen (Wurzeln) $\begin{eqnarray*} x_1\, \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\, \end{eqnarray*}$ die Satzgruppe von Viëta (nach dem latinisierten Namen von François Viète) folgendes besagt:

$\begin{eqnarray*} p = -(x_1 +x_2)\, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = x_1 \cdot x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \end{eqnarray*}$

Bei deiner Aufgabe ist nun aber nur bekannt, dass es sich um eine quadratische Funktion mit den 2 angegebenen Nullstellen handelt. Die Anwendung des Satzes von Vieta rechtfertigt in meinen Augen nicht die Schlussfolgerung, dass es sich um eine Normalparabel handelt. Handle es sich also um eine quadratische Funktion, so gilt

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c = a\Bigl(x^2+px+q \Bigr) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p:=\frac{b}{a},~q:=\frac{c}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x):=x^2+px+q \end{eqnarray*}$

Es haben dann f und g die gleichen Nullstellen. Mittels des Satzes von Vieta kann man dann die Funktion g rekonstruieren. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} p = - [(1.5)+(-0.5)] = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = (1.5) \cdot (-0.5) = - 0.75 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die Funktion g:

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^2-x-0.75 \end{eqnarray*}$

Jedoch gibt es noch unendlich viele andere quadratische Funktion f mit den gleichen Nullstellen.

14.05.2007, 14:08

Zisky1992

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jetzt versteh dich gar nichts mehr >.<*

14.05.2007, 14:09

Zisky1992

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ich soll doch nichts in ein koordinatensystem eintragen ich brauch doch nur die gleichung =(

14.05.2007, 14:11

tigerbine

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Es soll ja auch Leute geben, die sich über eine anschauliche Darstellung freuen unglücklich

unglücklich

Ich habe nirgendwo gesagt, dass Du das zeichnen musst. Es war als Hilfe gedacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und WAS verstehst Du an meinem Post nicht? Ich "kann" nur auf konkrete Fragen antworten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gerechnet habe ich einen Teil der Aufgabe auch schon... stand doch hier geschockt

geschockt

Zitat:

tigerbine

...Mittels des Satzes von Vieta kann man dann die Funktion g rekonstruieren. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} p = - [(1.5)+(-0.5)] = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = (1.5) \cdot (-0.5) = - 0.75 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die Funktion g:

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^2-x-0.75 \end{eqnarray*}$

14.05.2007, 14:14

KleineFreche

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grins Tigerbiene,
ich habs verstanden, doch Zisky ist doch erst 14 Jahre alt Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

aber ich habe deinen Fehler gefunden Zisky und dann stimmts:

Tigerbiene meinte:

p= -(!!!!!) (x1 + x2) d.h. -1 smile

smile

(so wie ich es gesagt hatte-..)

und jetzt versuchst du mit dem Wissen nochmal dein Glück mit der Scheitelfkt

14.05.2007, 14:15

Zisky1992

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ich versteh jetzt den fehler in meiner gleichung nicht
da ich es so "leicht " gelernt habe...mit dem x1+x2= -p
und x1*x2 = q
und denn die ergebnisse einsetzen
ich komm jetzt nicht weiter

14.05.2007, 14:17

Zisky1992

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ja stop!!!!!ich hatte in meiner Klassenarbeit doch -1 und da wurde das Vorzeichen falsch angestrichen ich versuche diese aufgabe einzuscannen um euch zuzeigen was ich meine!!

14.05.2007, 14:19

tigerbine

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Ob wir nun $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 = -p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p = -(x_1+x_2) \end{eqnarray*}$ schreiben ist nun wirklich egal. Es ändert nichts an der Lösung. aber rechnen wir es mit "deiner" Variante.

$\begin{eqnarray*} (1.5) + (-0.5) = -p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = -p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 = p \end{eqnarray*}$

Wieder kommen wir zur Lösung:

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^2-x-0.75 \end{eqnarray*}$

Mit Dateianhänge kannst Du es hier hochladen. Oder mail an mich.

14.05.2007, 14:22

KleineFreche

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x1+x2 = -p ist doch richtig.... denn 1,5 +(-0,5) = 1 = -p
also ist p=-1....
und wenn du uns die richtigen x-Werte gegeben hast, dann stimmt das Minus davorn und dein Lehrer liegt falsch smile

smile

smile

smile

. (du kannst ja selber kontrollieren: setze einen der x werte in die Gleichung ein und es muss 0 rauskommen. Falls das nicht der fall sein sollte ist deine Gleichung falsch.

so, versuche mal ob die 2 x Werte ELement von f(x)= x^2-x-0,75 sind

und dann ob die es auch sind von f(x) = x^2 + x-0,75...

so findest du raus, welche Gleichung richtig is

PS: hast du vielleicht die x Werte selbst aufgestellt??

14.05.2007, 14:25

Zisky1992

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es ist aufgabe 2 !!

14.05.2007, 14:32

tigerbine

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Lesen wir die erste Zeile. Die Korrektur ist berechtigt. Gegeben sind $\begin{eqnarray*} x_1=1.5,~x_2=-0.5 \end{eqnarray*}$ . Somit ist ihre Summe:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2=1.5-0.5 = +1 \end{eqnarray*}$ (*)

Für die Berechnung des p mit dem Satz von Vieta gilt:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2=-p \end{eqnarray*}$

Mit (*) erhält man dann also:

$\begin{eqnarray*} +1 = -p \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} p = -1 \end{eqnarray*}$

14.05.2007, 14:35

KleineFreche

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du hast einen Lehrer...

also recht hatte er, denn du hast NUR geschrieben x1 + x2 = -1 --- du hättest irgendwo HINSCHREIBEN müssen, das x1 + x2 = -p ist und du daraus schlussfolgerst, dass -p = -1 ist (denn nur x1 + x2 = 1 (!!) d.h. deine Gleichung war math. nicht korrekt)

ok, 0,25 ist auch nicht richtig...aber das hast du ja selber mitbekommen,
das den einen Punkt unten müssteste noch bekommen...du hast die richtige Schlussfolgerung gezogen und p=-1 eingesetzt...

da würde ich morgen noch mal mit dem Lehrer reden - du hast dich halt nur etwas ungünstig ausgedrückt.

14.05.2007, 14:36

Zisky1992

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und warum ist es dann in der Gleichung dann doch +1??
das hat doch gar keinen Sinn traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

14.05.2007, 14:37

KleineFreche

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@tigerbiene:

trotzdem hat sie es in der Endgleichung RICHTIG eingesetzt und hat auch nirgendwo direkt hingeschrieben, das p= 1 ist... deswegen kann man da schon um einen Punkt streiten(wenns darauf einen halben oder so geben würde). (doch die erste Zeile bleibt falsch)

14.05.2007, 14:42

Zisky1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe ihn ja morgen nicht da ich krank bin & erst Mittwoch wieder in die Schule gehe und da schreibe ich ja schon die Matheklassenarbeit nocheinmal!!!!Da sie so schlecht ausgefallen ist!aber ich denke der satz von vieta habe ich jetzt verstanden!nur das ist ein kleiner Teil der noch recht einfach ist!!!!Ein weiteres problem zeigt sich bei mir..
ich kopier euch mal die arbeit
(siehe aufgabe 4-5-6)

14.05.2007, 14:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

@KleineFreche

Nein, sie hat eben nicht richtig eingesetzt. Man hätte ihr einen Punkt geben können, wenn sie den falschen Wert "+1" eingesetzt hätte. Dann wäre es ein Folgefehler gewesen. Sie hat hier aber 2 Fehler (allein schon bei der Bestimmung von p) gemacht, dafür kann es dann erst recht keinen Punkt geben.

Es fehlt dafür auch jegliche Grundlage, da man nicht sehen kann, dass sie den Satz von Vieta richtig kennt. Es ist nicht die Aufgabe des Lehrers, die Lösung zu interpretieren. Denn sie hat wenn Du ehrlich bist, nirgendwo p erwähnt und auch nicht wie das mit der der Endlösung zusammenhängt.

@Zisky:

Nimm meine Antwort nicht "zu hart". Ich will dich damit nicht runtermachen, sonder einen Weg zeigen, wie Du solche Aufgaben besser beantworten kannst und eine "Interpretation" deiner Lösung vermeidest.

EDIT:

Und wie Du in der Wiederholungsarbeit besser abschneiden kannst.

14.05.2007, 14:49

Zisky1992

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besser als 6 sollte es schon sein ^^
Mein Problem ist auch (siehe aufgabe 4) die funktionsgleichung abzulesen!

14.05.2007, 14:50

tigerbine

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Arbeitsteilung
@Kleine Freche:

Ich mache Aufgabe 4, Du die 5?

14.05.2007, 14:52

tigerbine

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Note
War die letzte Note denn eine 6? Dann ist nach oben ja Luft Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aus den Graphen der Funktionen soll ihre Funktionsgleichung bestimmt werden. Diese soll netterweise in Scheitelpunktsform sein.

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x+d)^2+e \end{eqnarray*}$

Wo hat diese allgemeine quadr. Funktion ihren Scheitelpunkt?

14.05.2007, 14:56

Zisky1992

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Ja die letzte Arbeit war eine 6!!
Na d und e ist doch der Scheitelpunkt und a ist der Streckungsfaktor

14.05.2007, 14:59

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

So beantworten man diese Frage nicht. Wenn nach einem Punkt gefragt ist, dann soll man dessen Koordinaten angeben. Wir haben hier eine x und eine y Koordinate. Welche soll denn d und welche e sein... und bist du dir mit der Antwort wirklich sicher?

Was ist nun $\begin{eqnarray*} S(?/?) \end{eqnarray*}$

14.05.2007, 15:00

Zisky1992

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d ist x und e ist y

14.05.2007, 15:03

KleineFreche

Auf diesen Beitrag antworten »

auch fein die 5 smile

smile

...ich liebe Schnittpunkte.

denn das ist ganz einfach Zis:

du setzt einfach beide Fkt gleich:

f(x)=g(x)

x^2-2 = -x + 4

so, stelle das mal nach x um... weisst du wie du hier an die x-Werte kommst? mit welcher Formel?

PS: und besser als 4wirds allemal Augenzwinkern

Augenzwinkern

@tigerbiene...

so würde ich das NICHT sehe *widersprech grins*. Denn dìe Gleichung des ERGEBNISSES WAR JA RICHTIG (jedenfalls der erste Teil). denn p =-1.... sie könnte sich ausreden das sie oben zu schnell war und gleich das fertige p hingeschrieben hat, anstatt zwei Schritte. aber das sie im endeffekt wusste, das p=-1 ist (hat es ja unten richtig eingesetzt)...ist ja auch egal...ich hab halt immer mit meinen lehrern gestritten und meist recht bekommen hehe

14.05.2007, 15:08

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Zisky:

Nein, dass ist falsch. Setzte für x einmal d ein, und du wirst sehen warum

Machst Du bitte für die Aufgabe 5 einen neuen Thread auf. sonst wird das hier total chaotisch. Danke Wink

Wink

@KleineFreche:

nomen est omen Big Laugh

Big Laugh

Aber hier (für Zisky) völlig unangebracht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2007, 15:08

Zisky1992

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ihr könnt mich franzi nennen =)
nicht wirklich also wie ich an die x-werte komme...aba f(x) = g(x) ist doch das gleichsetzungsverfahren oder? Tanzen

Tanzen

14.05.2007, 15:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Also ich mach das jetzt mal. Allgemeine Scheitelpunktsform wie in der Arbeit angegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x+d)^2+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-d)=a(-d+d)^2+e = a\cdot 0 + e = e \end{eqnarray*}$

Also gilt für den Scheitelpunkt

$\begin{eqnarray*} S(-d/e) \end{eqnarray*}$

14.05.2007, 15:13

Zisky1992

Auf diesen Beitrag antworten »

das neue Thema ist erstellt..
aber hmm...
S(.../...)
^X ^y
oder?

14.05.2007, 15:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies meine letzte Antwort. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2007, 15:24

Zisky1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Na wäre der Ansatz der Gleichung nicht

~> ...(x+5)² + 1 aba wie ist groß ist der Streckungsfaktor?

14.05.2007, 15:47

tigerbine

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Hallo Franzi,
Komplettlösungen sind hier nicht usus und erwünscht. Aber es kann sein dass ich in der nächsten halben Stunde plötzlich weg muss und bis morgen auch nicht wieder da bin. Deswegen schreibe ich Dir für die Funktion f einmal auf, wie ich mir die Lösung vorstellen würde. Bitte bearbeite dann so die Antwort für die Funktion g.

allgemeine Scheitelpunktsform:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x+d)^2+e \text{ mit }S(-d/e) \end{eqnarray*}$

Scheitelkoordinaten

$\begin{eqnarray*} S(-5/-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -d = -5 \Leftrightarrow d = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e = -1 \end{eqnarray*}$

Macht als Zwischenergebnis:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x+5)^2-1 \end{eqnarray*}$

Um nun den Streckungsfaktor a zu bestimmen, wählen wir uns einen beliebigen Punkt 8ungleich des Scheitels auf den Graphen aus, dessen Koordinaten möglichst ganzzahlig sind. Z.B.

$\begin{eqnarray*} P(-3/0) \end{eqnarray*}$

Damit erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} f(-3) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(-3+5)^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(+2)^2-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a - 1= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

somit lautet die Funtkion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}(x+5)^2-1 \end{eqnarray*}$

14.05.2007, 15:54

Zisky1992

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ja okay danke !!
aber eine Frage noch wie kommst du
$\begin{eqnarray*} a(-2)^2-1=0 \end{eqnarray*}$ auf das??
also auf die -2 das versteh ich grade nicht sonst versteh ich das

14.05.2007, 15:55

tigerbine

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Würdest Du es mit +2 verstehen? Big Laugh

Big Laugh

Geändert.

14.05.2007, 16:00

Zisky1992

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ja

Big Laugh

ich hatte mich schon gewundert *g*

14.05.2007, 16:11

tigerbine

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Bitte rechne die g und stelle sie hier ein. Ich versuche abends nochmal drüberzuschauen.

Gruß und viel Erfolg,
tigerbine Wink

Wink

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