Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion

14.05.2007, 16:00

Jegor

Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion

Hallo ihr!
Da ich neu hier bin und von Internetforen absolut keine Ahnung habe, hoffe ich ihr nehmt es mir nicht allzu übel wenn ich etwas falsch mache.

Ich studiere Mathe auf Bachelor im 2ten Semester und habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir da etwas unter die Arme greifen smile

Hier die Aufgabe:
Es sei f eine Funktion, die auf (-a,a) (a>0) definiert ist. f sei in 0 stetig und für 0<k<1 gelte:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(kx)}{x}=b \end{eqnarray*}$
Man zeige, dass f in 0 differenzierbar ist und dass $\begin{eqnarray*} f'(0)=\frac{b}{1-k} \end{eqnarray*}$

Ich hab mir jetzt gedacht dass differenzierbar in 0 ja heißt, dass
$\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} \end{eqnarray*}$ ist und da muss ich jetzt wohl irgendwie zeigen, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} =\frac{b}{1-k} \end{eqnarray*}$ ist. Dafür muss ich wohl irgendwie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(kx)}{x}=b \end{eqnarray*}$ verwenden, aber mir fehlt die Idee wie das gehen soll...

Schonmal Danke im Voraus,

LG, Jörg

14.05.2007, 16:58

Dual Space

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RE: Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion
Deine Vermutung ist schon ganz richtig. Doch hier ist etwas Geschick gefragt. Augenzwinkern

Hier die Idee in groben Zügen:

$\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\left[\frac{f(x)-f(kx)}{x}+\frac{f(kx)-f(0)}{x}\right] \end{eqnarray*}$

Also haben wir

$\begin{eqnarray*} f'(0)=b+\lim_{x\to 0}\frac{f(kx)-f(0)}{x} \end{eqnarray*}$

Substituiert man nun $\begin{eqnarray*} y:=kx \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} f'(0)=b+k\cdot f'(0) \end{eqnarray*}$

Fertig. Augenzwinkern

14.05.2007, 18:18

Jegor

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Ah prima, ich habs smile

Danke dir!

14.05.2007, 18:40

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RE: Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion

Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\left[\frac{f(x)-f(kx)}{x}+\frac{f(kx)-f(0)}{x}\right] \end{eqnarray*}$

Also haben wir

$\begin{eqnarray*} f'(0)=b+\lim_{x\to 0}\frac{f(kx)-f(0)}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich als boshafter Mensch daher und sage:

Diese Argumentation greift nur, wenn die Existenz von $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ gesichert ist, was aber ja auch erst bewiesen werden soll.

Was nun? Augenzwinkern

14.05.2007, 19:09

bishop

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sag ich boshafter Mensch, lies die Aufgabenstellung =P

Dort heisst es, dass f an 0 stetig ist, und der limes mit dem Wert b existiert. Imo braucht man nichts mehr^^

14.05.2007, 19:17

Dual Space

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Zitat:

Original von bishop
sag ich boshafter Mensch, lies die Aufgabenstellung =P

Dort heisst es, dass f an 0 stetig ist, und der limes mit dem Wert b existiert. Imo braucht man nichts mehr^^

Nein, bishop. Arthur hat schon ganz recht, aber daher ja auch meine einleitenden Worte:

Zitat:

Original von Dual Space
Hier die Idee in groben Zügen:

Ich habe zum Beispiel an keiner Stelle (explizit) die Stetigkeit in 0 gebraucht.

14.05.2007, 19:24

bishop

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aah, ich seher schon, glaube ich

Der Grenzwert, den die hier angeben ist ja nicht die allgemeine Form des Differenzialquotienten. Also müsste man erst zeigen, dass dieser Limes die Ableitung von f angibt, und dann im zweiten Schritt seinen Wert berechnen?

14.05.2007, 20:57

Dual Space

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Naja wie auch immer ... jetzt ist erstmal wieder Jegor am Zug. Aber irgendwie befürchte ich, dass er meinen Vorschlag nur abgeschrieben und die Aufgabe dann abghakt hat. verwirrt

15.05.2007, 11:27

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Zitat:

Original von bishop
sag ich boshafter Mensch, lies die Aufgabenstellung =P

Dort heisst es, dass f an 0 stetig ist, und der limes mit dem Wert b existiert. Imo braucht man nichts mehr^^

Nun ja: Stetigkeit und Differenzierbarkeit sollte man schon auseinanderhalten können, wenn man andere belehren will... smile

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