Schachtel falten mit möglichst großem Volumen |
| 14.05.2007, 18:34 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schachtel falten mit möglichst großem Volumen Es geht um folgende Aufgabe: Aus einem Rechteck soll eine Schachtel gefaltet werden, indem an den Ecken Quadrate ausgeschnitten werden, so dass die Kanten hochgeknickt werden können. Das Rechteck hat die Seitenlangen a und b. Der Schachtelinhalt soll maximal sein, also so groß wie möglich. Welche Seitenlänge müssen dann die Quadrate, die ausgeschnitten werden, haben? Ich hoffe man versteht die Aufgabe und dass mir irgendwer helfen kann. 
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| 14.05.2007, 19:04 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eine sehr geläufige Aufgabe zur Kurvendiskussion. Versuche mal die Seitenlänge deines Quadrates, und das Volumen mithilfe von a und b zu schreiben. Dann sollte sich eine Funktion ergeben, die du maximieren kannst. Wenn du mit dem Tipp nicht weiterkommst, einfach fragen =) €dit: Ach ja, eine Skizze ist hier wirklich hilfreich, damit sieht mans eigtl sofort |
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| 14.05.2007, 20:00 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Skizze habe ich schon vor mir liegen... Aber leider weiß ich nicht so wirklich, wie ich nun auf eine Funktion kommen soll, mir fehlt mal wieder jeglicher Ansatz. 
Danke schonmal für die Antwort. Immerhin weiß ich jetzt, dass ich eine Funktion suche und das ganze mit Kurvendiskussion zu tun hat. 
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| 14.05.2007, 20:33 | Vieta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn die skizze hier im board zur Hand wäre, dann würden ich und auch andere Personen dir gerne helfen
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| 14.05.2007, 20:40 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Müsste das nicht als Extremwertaufgabe in die Analysis?
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| 14.05.2007, 20:42 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, die Skizze ist nicht die beste, aber ich denke, man erkennt es trotzdem. Die gestrichelten Linien stellen dar, wo die Quadrate ausgeschnitten werden; an den gepunkteten Linien kann dann anschließend die Schachtel gefaltet werden. Die Länge x ist so zu bestimmen, dass der Schachtelinhalt so groß ist, wie möglich.  http://img511.imageshack.us/img511/702/unbenanntnj9.png |
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| 14.05.2007, 20:46 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du denn schon mal die Hauptbedingung nennen? Was soll hier maximiert werden? |
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| 14.05.2007, 20:50 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Extremalbedingung lautet wohl, V soll maximal sein. Aber wie gehe ich das an? 
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| 14.05.2007, 20:52 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die Seiten hochknickst, handelt es sich doch dann um ein Quader, ne? Welche Formel benutzt man, um das Volumen eines Quaders auszurechnen? |
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| 14.05.2007, 20:57 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V = a*b*c und in diesem Fall? a-2x*b-2x*x ?
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| 14.05.2007, 21:00 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorher noch eine Frage: Hast du außer den obigen Angaben keine anderen Werte erhalten? Zum Beispiel, dass a=20cm ist? |
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| 14.05.2007, 21:02 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich soll die Aufgabe "allgemein" berechnet werden, also ohne konkrete Zahlen. Die, die das nicht schaffen, sollen die Werte a=40cm und b=30cm verwenden. Wäre mir also auch recht. |
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| 14.05.2007, 21:07 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, gut zu wissen 
Also, die erste Formel von dir stimmt. 
Ich würde aber lieber schreiben. Wenn du jetzt die x-Seite hochknickst, mit welcher Variable von den hier genannten wäre sie identisch? |
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| 14.05.2007, 21:07 | Vieta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde auch sagen, dass das stimmt, allerdings würden Klammern an dieser Stelle nicht ganz unpassend sein. EDIT: Generalüberholung, Beitrag hat nichts mehr mit dem Ursprungsbeitrag zu tun. |
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| 14.05.2007, 21:09 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
h, weil es ja die Höhe ist. Wenn ich mit den gegebenen Werten rechne, hätte ich nun also 40-2h*30-2h*h ? *hoff*
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| 14.05.2007, 21:10 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super!!
Dabei hast du jetzt schon die Nebenbedingung in die Hauptbedingung eingesetzt. |
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| 14.05.2007, 21:12 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach ja: Klammern nicht vergessen
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| 14.05.2007, 21:14 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, das ging mir auch gerade auf.
So weit, so gut. Was mache ich jetzt? *zappel* |
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| 14.05.2007, 21:15 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt würde ich die Klammern auflösen und zusammenfassen.
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| 14.05.2007, 21:23 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V(h) = 1200-140h-h³ bzw. V(h) = -h³-140h+1200 *weiterhoff*
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| 14.05.2007, 21:25 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht ganz: Ich denke, du hast irgendwo einen kleinen Flüchtigkeitsfehler gemacht, ist aber nicht schlimm.
Weiter geht's mit der ersten Ableitung. |
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| 14.05.2007, 21:28 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V'(h)=12h³-280h+1200 Und nun, gleich 0 setzen bzw. Nullstellen der Ableitung bestimmen vielleicht? |
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| 14.05.2007, 21:30 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es muss 12h^2 heißen. Ja, jetzt gleich Null setzen und in die Normalform für die Lösungsformel für quadratische Gleichungen bringen. |
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| 14.05.2007, 21:36 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hoppla, das war ein Tippfehler *schäm* Jetzt habe ich das ganze in die Normalform gebracht und die Lösungsformel brachte mir das Ergebnis x=17,676 v x=5,6574 Was will ich hier eigentlich gerade erreichen? 
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| 14.05.2007, 21:38 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ergebnisse stimmen.
Du rechnest gerade die Höhe aus.
Weiter mit der zweiten Ableitung und anschließend die ausgerechneten Werte einsetzen. Welche Ergebnisse erhältst du dann? |
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| 14.05.2007, 21:43 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V''(h)=24h-280 V''(17,676)= 144,222 V''(5,6574)= -144,222 |
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| 14.05.2007, 21:44 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Und nu mal überlegen. Das Volumen der Schachtel soll maximal werden. Bei welchen deiner eben errechneten Werte erhältst du ein Maximum und wo ein Minimum? |
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| 14.05.2007, 21:47 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei V''(5,6574)= -144,222 erhalte ich ein Maximum. Ja? (btw, Ist das mit der 2. Ableitung die hinreichende Bedingung?) |
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| 14.05.2007, 21:48 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber Moment, die Höhe kann doch nicht negativ sein? Oder soll ich an mein Rechteck noch ein paar Ecken ankleben? Verwirrtheit lässt grüßen.
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| 14.05.2007, 21:49 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist die hinr. Bedingung. Richtig, der Wert h= 5,6 liefert dir ein Maximum, welches gesucht ist. Also ist das auch die gesuchte Höhe, die nach oben geknickt wird. Wie lautet das Volumen, wenn du all deine Werte in die Hauptbedingung einsetzt? |
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| 14.05.2007, 21:51 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achja, das Ergebnis der 2. Ableitung ist ja gar nicht die Höhe. Hach. So, mein Volumen beträgt nun... 4729,5195 cm³ Ist das nicht ein bisschen viel? |
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| 14.05.2007, 21:52 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
-144 ist ja auch nicht die Höhe, sondern die hinr. Bedingung lautet: und . -144 ist kleiner Null und somit ein Maximum. Alles klar?
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| 14.05.2007, 21:53 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Halt Stop, ich weiß, wo mein Fehler lag. Mooooment! |
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| 14.05.2007, 21:54 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also: . Das Volumen gibt man am besten in Liter an. Wieviel Liter wären dies? EDIT: Rechnung ist falsch, hab vergessen, was abzuziehen. |
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| 14.05.2007, 21:55 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, jetzt ist alles klar soweit. Mein neues Volumen beträgt nun 3032,3 cm³ und kommt mir immer noch sehr hoch vor. |
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| 14.05.2007, 21:56 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guck mal davor...
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| 14.05.2007, 21:56 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moment, musst du die 5,6574 nicht in die Gleichung V(h)=(a-2h)*(b-2h)*h einsetzen, also von den 40 bzw. 30cm noch die Höhe abziehen? |
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| 14.05.2007, 21:59 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aargh... Du hast recht, sorry (Langsam geh'n mir die Energiereserven aus)
Aber trotzdem: Wieviel Liter macht das? |
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| 14.05.2007, 22:02 | Moni2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit Einheiten hab ich's nicht so... Wie wäre es mit 30,32 l ? |
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| 14.05.2007, 22:03 | *Mary* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist's richtig:
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