Matrixdarstellung

10.01.2005, 15:57

merlin25

Matrixdarstellung

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^3 \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ die durch $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-\frac{1}{2}x_2+3x_3,x_1-x_3) \end{eqnarray*}$ gegebene lineare Abbildung. Man bestimme die Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

(a) bzgl. der Standardbasis in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ,

(b) bzgl. der Standardbasis in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ und der Basis $\begin{eqnarray*} B=\{ b_1,b_2\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_1=(1,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_2=(1,-1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ .

Den Aufgabenteil (a) habe ich gelöst. Da kommt bei mir folgende Matrixdarstellung raus:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei (b) habe ich eine Frage.
Ich habe folgendes auf meinem Zettel:

$\begin{eqnarray*} b_1^*(f(a_1))=b_1^*(1,1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1^*(f(a_2))=b_1^*(\frac{1}{2},0)=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1^*(f(a_3))=b_1^*(3,-1)=? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^*(f(a_1))=b_2^*(1,1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2^*(f(a_2))=b_2^*(\frac{1}{2},0)=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2^*(f(a_3))=b_2^*(3,-1)=? \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf die Ergebnisse die noch durch ein ? dargestellt werden?

Da $\begin{eqnarray*} f(a_1)=(1,1) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f(a_1)=b_1 \end{eqnarray*}$ kann ich die zwei Ergebnisse verstehen, denn:
$\begin{eqnarray*} b_1^*(b_1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2^*(b_1)=0 \end{eqnarray*}$

12.01.2005, 14:19

Assal

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrixdarstellung
Hallo merlin25! Wink

Bin momentan auch an der Aufgabe!

Also:
b1* (f(b1)) = b1* (1,1) = 1 (wie kommt man denn auf die 1???) verwirrt

b1* (f(b2)) = b1* (-1/2, 0) = - 1/2
b1* (f(b3)) = b1* (3,-1) = 3
b2* (f(b1)) = b2* (1,1) = 1
b2* (f(b2)) = b2* (-1/2, 0) = 0
b2* (f(b3)) = b2* (3,-1) = -1

Wir sind uns bei den Lösungen allerdings nicht sicher, da wir überhaupt nicht wissen, wie man am Ende auf die Zahlen kommt Hilfe

Es wäre super nett wenn jemand da ein paar Tipps für uns hätte!!! smile

12.01.2005, 15:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixdarstellung
bei Aufgabe b muß man für jeden Basisvektor von R³ das Bild unter f in der Basis B darstellen. z.B. f(1,0,0) = (1,1) Davon den Koordinatenvektor bzgl. B bestimmen und als 1. Spalte in A eintragen.

13.01.2005, 14:56

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich habe die Aufgabe glaube ich gelöst. smile

Ist das Ergebnis bei (b) richtig???

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & 1 \\ 0 & -\frac{1}{4} & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.01.2005, 15:49

Assal

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrixdarstellung
Hallo Merlin25!

Bei 1 b hab ich auch die gleiche Lösung raus!
Ich denk, das muss stimmen...!
Tanzen

13.01.2005, 17:02

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich ob man überprüfen kann ob das Ergebnis stimmt. Bei (a) kann ich das. Bei (b) weiß ich nicht wie ich es machen soll. Also bei (a) mach ich das so:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-\frac{1}{2}x_2+3x_3 \\ x_1-x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daran kann ich sehen das (a) stimmt aber wie kann ich sehen ob (b) stimmt?????

Vielen Dank im Vorraus

merlin25

14.01.2005, 16:54

Mööp

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixdarstellung

Zitat:

Original von Assal
Hallo Merlin25!

Bei 1 b hab ich auch die gleiche Lösung raus!
Ich denk, das muss stimmen...!
Tanzen

Hallo!

Ich habe mal eine Frage zu deinem Ergebnis, ich habe da nämlich das selbe raus nur das die -1/4 in der zweiten Reihe bei mir positiv ist...
Ich habe da nämlich zum Schluss -x2=-1/4 stehen und wenn man das nun *-1 nimmt, dann wird es ja zu x2=1/4 oder nicht?

Gruß Mööp

14.01.2005, 17:18

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \alpha_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+ \alpha_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} =\alpha_1+\alpha_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\alpha_1-\alpha_2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Gleichungen löse erhalte ich für beide $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

15.01.2005, 15:25

Mööp

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, tjoah rechnen müßte man schon können, bin ich nen Döspaddel, sorry, habe es jetzt auch raus, hatte doofe Flüchtigkeitsfehler gemacht... Trotzdem danke smile

Neue Frage »

Antworten »

Matrixdarstellung

Verwandte Themen