zur Integralen Näherungsformel,schwierig

10.01.2005, 16:10	help	Auf diesen Beitrag antworten »
zur Integralen Näherungsformel,schwierig Aufgabe 1)Wie oft muss eine Laplacemünze geworfen werden, damit die relative Häufigkeit dafür, dass "Zahl" fällt, mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 um höchstens 0,02 von der Wahrscheinlichkeit p=0,05 abweicht? 2)Bei einem Multiple-Choice-Test muss ein Kandidat 50 Fragen beantworten, wobei für jede Frage 4 Antw. vorgegeben sind, von denen genau eine richtig ist. Man will 98% der Kandidaten, die ihre Antworten rein zufällig geben, aussondern. Wie viele richtige Antworten sind notwendig , damit ein Kandidat die Prüfung besteht, also nicht ausgesondert wird? Bei 1) hatte ich folgenden Ansatz: die Frage ist nach n also: 0.95<=P(X>0)<=0,02 (ich weiß hier allerdings nciht wie ich die 0,05 einbringen muss) P(X>0)= 1- P(X=09 = 1- großvieh((0+0,5-n0,5)/wurzel(n0,5²))+großvieh ((0-0,5-n0,5)/wurzel((n0,5²)) =1-großvieh((1-n)/wurzel (n))+großvieh((n-1)/wurzel(n)) 0.95<=1-großvieh((1-n)/wurzel (n))+großvieh((n-1)/wurzel(n))<=0,02 ich komme da nciht weiter, man kann großvieh ja nicht auflösen und ich glaube auch nciht das mein ansatz richtig ist 2) bei 2. habe ich keine ahnung. wie soll man denn wissen welcher kandidat rät??? Ich bin dankbar für jede idee, jeden ansatz oder jede hilfe....!
10.01.2005, 18:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zur Integralen Näherungsformel,schwierig Das ist aber eine stark gezinkte Münze, wenn die Wahrscheinlichkeit für Zahl nur p=0,05 ist. Ist es nicht doch ein Schreibfehler und muss es p=0,5 heißen?
10.01.2005, 22:58	help	Auf diesen Beitrag antworten »
ja mist, das soll p=0,5 heißen... hast du denn eine Idee wie ich das nun zu lösen habe??
10.01.2005, 23:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Die Anzahl X des Auftretens von "Zahl" ist binomialverteilt mit den Parametern p und n (=Anzahl der Versuche). Ansatz für Aufgabe 1) ist: $\begin{eqnarray} P\left(\left\|\frac{X}{n}-p\right\|\leq 0.02\right)\stackrel{!}{\geq} 0.95 \end{eqnarray}$ und daraus soll das n gewonnen werden. Mit der Binomialverteilung ist das schwierig, daher sollte man lieber die nach Zentralen Grenzwertsatz (ZGWS) für große n gültige Näherung $\begin{eqnarray} \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim\mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ nutzen - also mit "großvieh" ( , wir schreiben hier $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ ) als Verteilungsfunktion. ----------------------- 2) Y ... Anzahl der richtig beantworteten Fragen eíner Person bei zufälligem Raten der Antwort Dann ist Y wieder binomialverteilt (welche Parameter?) und soll mit 98%iger Wahrscheinlichkeit ausgesondert werden - also muss man die Mindestpunktzahl m zum Bestehen des Tests so wählen, dass $\begin{eqnarray} P(Y<m)\geq 0.98 \end{eqnarray}$ ist. Hier ist also das m zu bestimmen, eine Näherung durch Normalverteilung ist hier unnötig.
10.01.2005, 23:29	help	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!du rettest mich! aber was heißt dieses große N in der zweiten gleichung und dieser krumme strich heißt der "ist ungefähr gleich"?
10.01.2005, 23:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Z\sim\mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ ist die Kurznotation für "die Zufallsgröße Z ist standardnormalverteilt".
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10.01.2005, 23:41	help	Auf diesen Beitrag antworten »
es kann daran liegen dass es spät am abend ist oder an mir aber ich versteh das imme rnoch nicht...also setze ich dann in diesen Ausdruck nur noch die Werte ein? X hab ich doch nicht bestimmt oder?wie kann ich dann nach n hin auflösen?, ich kenne nur p=0,5 In der zweiten AUfgabe P(Y<m)>=0.98 setze ich dann doch einfach auch nur die großvieh Funktion oder und setz edie werte ein? aber wie kann ich da E(X) bestimmen wenn ich auch nur p=1/4 gegeben habe? und wie sigma? mir fehlt doch n oder?
10.01.2005, 23:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Ungleichung unter dem P(...) im Ansatz mit $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{n}{p(1-p)}} \end{eqnarray}$ multiplizieren: $\begin{eqnarray} 0.95\leq P\left(\left\|\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right\|\leq 0.02\sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}\right)=P\left(\left\|Z\right\|\leq 0.02\sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}\right) \end{eqnarray}$ (du kannst jetzt natürlich auch irgendwann p=0.5 einsetzen) und jetzt kannst du mit dem (näherungsweise) normalverteiltem Z weiterrechnen.

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