Vorabi-Klausur-Aufgabe

10.01.2005, 16:46

Austi

Vorabi-Klausur-Aufgabe

Hallo zusammen!

Also es handelt sich um folgende Aufgabe, die in der Vorabi Klausur dran kam! Vielleicht kann mir ja jemand helfen?

Betrachten Sie die Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_k(x)=\frac{k^2x}{1+kx^2} , k\neq0 \end{eqnarray*}$ . Beachten Sie bei den folgenden Untersuchungen sinnvolle Fallunterscheidungen.

a) Berechnen Sie mit der hinreichenden Bedingung die Koordinaten der Extremwerte. Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$
Die Extrempunkte für verschiedene k bilden eine Linie. Berechnen Sie die Ortskurve (Ortslinie) der Extrempunkte.

b) Bestimmen Sie die x-Werte der möglichen Wendepunkte.

c) Skizzieren Sie im Intervall [-3 ; 3] für k=2 und k=-1 die Graphen in einem Koordinatensystem.

d) Bestätigen Sie zunächst durch Anwendung eines geeigneten Verfahrens:

$\begin{eqnarray*} F_k(x)=0,5k*ln \mid 1+kx^2 \mid \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie nun den Flächeninhalt der Fläche (3 Nachkommastellen), den die beiden Funktionsgraphen $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{-1} \end{eqnarray*}$ einschließen.

e) Formulieren Sie einen geeigneten Ansatz zu folgendem Problem:
Wann haben zwei verschiedene Graphen nur den Koordinatenursprung als gemeinsamen Schnittpunkt?

MfG
Austi

P.S. Lösungsvorschläge:

a) dort komme ich nicht auf den Extremwert! bei der Ortskurve habe ich folgendes heraus: $\begin{eqnarray*} O(x)=\frac{\sqrt{(\frac{1}{x^2})^3}}{2} \end{eqnarray*}$

b) dort bekomme ich nicht die x-Werte bzw. die 2. Ableitung hin!

d) hier würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagt, wie man dabei vorgehen soll... smile

das wäre echt toll!

e) dort habe ich bisher folgendes:
Beide Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt im Koordinatenursprung, wenn beide die Nullstelle (0/0) bzw. den y-Achsenschnittpunkt (0/0) besitzen!

!!! Danke für Eure Mühe !!!

10.01.2005, 16:51

iammrvip

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zu a)
Was hast du denn als Ableitung??

10.01.2005, 17:02

Mathespezialschüler

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a) kannst du noch vereinfachen! Is aber richtig. Zeig doch erstmal deine Ableitung.
b) brauchst natürlich erstmal die 1. Ableitung
c) mit a) und b) und mit Wertetabelle kann man das ganz gut machen.

d)

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{k^2x}{1+kx^2}~dx=\frac{k}{2}\int~\frac{2kx}{1+kx^2}~dx \end{eqnarray*}$

Siehst du die Substitution jetzt selber Augenzwinkern

Schnittpunkte von $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{-1} \end{eqnarray*}$ berechnen und dann integrieren.

e) bezieht sich das auf die Funktionsschar oder auf beliebige Funktionen?

10.01.2005, 17:04

iammrvip

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
d)

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{k^2x}{1+kx^2}~dx=\frac{k}{2}\int~\frac{2kx}{1+kx^2}~dx \end{eqnarray*}$

Siehst du die Substitution jetzt selber Augenzwinkern

Da es gerne vergessen wird und nicht unterschlagen werden soll: Super Beispiel für Logarithmisches Integrieren.

10.01.2005, 22:40

Austi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
e) bezieht sich das auf die Funktionsschar oder auf beliebige Funktionen?

das ist allgemein gemeint!!

meine 1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=\frac{k^2(1-kx^2)}{(1+kx^2)^2} \end{eqnarray*}$

Extremwert konnte ich bestätigen und die Ortskurve habe ich soweit vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} O(x)=\frac{\frac{1}{x^3}}{2}=\frac{1}{2*\mid x \mid^3} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit??

MfG
Austi

10.01.2005, 22:55

Mathespezialschüler

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Ja, stimmt erstmal alles.

10.01.2005, 23:26

Austi

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zu b habe ich dann Folgendes:

2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_k''(x)=\frac{2*k^3*x*(k*x^2 - 3)}{(k*x^2 + 1)^3} \end{eqnarray*}$

x-Werte der Wendepunkte:

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{\frac{3}{k}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-\sqrt{\frac{3}{k}} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig??

Jetzt versuche ich c)... Nur d) und e) bekomme ich noch nicht so ganz hin!

MfG
Austi

EDIT: So als Anhang habe ich nun meine Skizze zu c) gepostet...

Passt das denn jetzt alles so oder nicht??

Ich gehe jetzt ins Bett! Sollte noch jemand etwas bzgl. d) und e) für mich haben, freue ich mich sehr!

Gute Nacht
Austi

11.01.2005, 07:47

iammrvip

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Das stimmt auch noch alles.

Jetzt musst du entweder substituieren wie MSS gesagt hat

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{k^2x}{1+kx^2}~dx=\frac{k}{2}\int~\frac{2kx}{1+kx^2}~dx \end{eqnarray*}$

oder du verwendest das Logarithmische Integrieren.
Das bedeutet, wenn

$\begin{eqnarray*} \int\frac{f'(x)}{f(x)}~dx = ln|f(x)| + C \end{eqnarray*}$

kommen diesen Stammfunktionen raus.

11.01.2005, 18:06

Austi

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Also ich konnte die Stammfunktion F_k(x) bestätigen!!

Wenn ich jetzt die Schnittpunkte von f_2 und f_-1 berechnen, kommt bei mir

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

heraus...

Ist das richtig?? Falls ja: wie gehts dann weiter??

MfG
Austi

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

11.01.2005, 20:02

iammrvip

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Ja. So kannst du die Stammfunktion bestätigen.

Die Schnittpunkte stimmen Freude

11.01.2005, 22:33

Austi

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Super!!!
Wie gehts jetzt weiter??
Soll ich jetzt x_2 und x_3 als Grenzen festlegen und dann integrieren?? Was ist denn dann a und was ist b ??

Und natürlich weiterhin meine Frage: Kann jemand noch zu e) etwas ergänzen?? smile

MfG
Austi

12.01.2005, 10:40

gast

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Hallo! Austi hier!

Ich schreibe mal aus der Schule! Habe in meiner Freistunde grade den Flächeninhalt berechnet! 0,6931 sollte er sein, oder??

Falls das richtig ist, wäre diesem Thema beendet!

MfG
Austi

12.01.2005, 15:49

iammrvip

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Das stimmt Freude

$\begin{eqnarray*} A = \ln(2) \approx 0.69 \end{eqnarray*}$

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