partielle Differentialgleichung

10.01.2005, 17:44	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Differentialgleichung Hallo. Heut hab ich mal eine Frage Und zwar geht es um die allsseits bekannte Schrödinger-Gleichung: $\begin{eqnarray} \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf r,t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf r,t) \right) \psi(\mathbf r,t) \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht, wie man auf die Lösung kommt Der Ansatz über $\begin{eqnarray} \psi(\mathbf r,t) = R(\mathbf r)\cdot T(t) \end{eqnarray}$ klappt ja hier nicht richtig. Außerdem hab ich das Problem, dass ich nicht weiß, was ich mit Nabla mache Kann mir jemand das mal erklären bzw. zeigen. Und: Ist die Gleichung ohne Anfangsbedingungen überhaupt lösbar?? Danke im Voraus.
10.01.2005, 18:28	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Meines Wissens nach kann man die Schrödingergleichung nicht für ein allgemein gehaltenes Potential lösen. Das wär ja auch zu schön. träum $\begin{eqnarray} \nabla^2 \end{eqnarray}$ nennt man auch den Laplaceoperator: $\begin{eqnarray} \nabla^2=\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{eqnarray}$ Und hier musst du den halt auf $\begin{eqnarray} \Psi (r,t) \end{eqnarray}$ anwenden: $\begin{eqnarray} \Delta \Psi=\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} \end{eqnarray}$ Also ich bin auch noch nicht so weit in dem Stoff drin . Ich hab bisher nur Lösungen für stationäre (=zeitunabhängige) Probleme gesehen. Und die sind auch nur bei hoher Symmetrie analytisch lösbar. (z.B Teilchen im Kugelsymmetrischen Potential, H-Atom) Für den Anfang würd ich aber an eindimensionalen stationären Problemen versuchen. Da gibts ja auch einige Beispiele, z.B freies Teilchen, Potentialstufe, Potentialwall... Aber das geht dann ja auch schon wieder in die Physik. Aber Quantenmechanik ist schon recht interessant.
10.01.2005, 18:32	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja. Mich hat eben Nabla² = Laplace auch ein bisschen verwirrt. Aber ich glaube das ist etwas schwer. Hast du vielleicht ein (paar) Beipiel(e) für mich??
10.01.2005, 18:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Klugscheißer muss ich noch anmerken: Korrekt muss es lauten $\begin{eqnarray} \Delta=(\nabla\cdot\nabla) \end{eqnarray}$ . Den Operator $\begin{eqnarray} (\nabla\nabla) \end{eqnarray}$ gibt es auch - als irgend so ein Tensor.
10.01.2005, 19:00	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nagut, also die eindimensional stationäre Schrödingerglechung sieht so aus: $\begin{eqnarray} -\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+E_{Pot}\Psi=E\Psi \end{eqnarray}$ Wobei dann $\begin{eqnarray} E_{Pot} \end{eqnarray}$ die Potentielle Energie ist und $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ die Gesamtenergie. (Man erhält die stationäre Schrödingergleichung aus der Zeitabhängigen durch den Ansatz $\begin{eqnarray} \Psi (r,t)=\Psi (r)\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t} \end{eqnarray}$ , das heisst die Wellenfunktion hängt bis auf diesen Phasenfaktor nicht von der Zeit ab. Achja und im eindimensionalen ist der Laplaceoperator einfach die 2te Ableitung.) Das einfachste Beispiel it wohl das freie Teilchen, also wenn kein Potential vorkommt. Dann ist $\begin{eqnarray} E_{Pot}=0 \end{eqnarray}$ . Damit wird die Schrödingergleichung zu: $\begin{eqnarray} -\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=E\Psi \end{eqnarray}$ Jetzt steckt man ein bisschen Physik rein: Weil die Potentielle Energie 0 ist, ist die Gesamtenergie gleich der Kinetischen Energie. Diese ist $\begin{eqnarray} E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m} \end{eqnarray}$ Wenn man das einsetzt bleibt von der Schrödingergleichung das hier übrig: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=-k^2\Psi \end{eqnarray}$ Das ist eine lineare Differentialgleichung 2ter Ordnung, die kann man lösen. Allgemein bekommt man: $\begin{eqnarray} \Psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx} \end{eqnarray}$ Um jetzt eine Zeitabhängigkeit rein zu kriegen, kann man jetzt wieder den Phasenfaktor $\begin{eqnarray} e^{-i\omega t} \end{eqnarray}$ dranmultiplizieren: $\begin{eqnarray} \Psi (x,t)=\Psi (x)\cdot e^{-i\omega t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)} \end{eqnarray}$ Die Koeffizienten A und B muss man dann noch aus den Randbedingungen bestimmen. Ich hoffe ich hab nix falsch gemacht.
10.01.2005, 19:08	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke! wenn man es auf diese leichte DGL $\begin{eqnarray} \left(\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=-k^2\Psi\right) \end{eqnarray}$ reduzieren kann, geht es ja noch
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