Definitionsbereich

10.01.2005, 18:27

OnkelStephan

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Definitionsbereich

Hallo

Ich habe eine frage zu folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} y= f(x)=4*ln(\frac{x+4}{x}) -2 \end{eqnarray*}$

Ich habe folgenden Definitionsbereich errechnet:

D(f)=\{x > 0 oder x <(-4)\}

nun aber merke ich das es für x=-3 nicht geht!Wie ist nun der richtige
D(f)?????

mfg

OnkelStephan

10.01.2005, 18:54

OnkelStephan

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Nachweis Punktsymetrie
Hallo

Ich habe folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=f(x)=4*ln(\frac{x+4}{x})-2 \end{eqnarray*}$

und soll beweisen das sie Punktsymetrisch zum Punkt (-2,-2) ist!

Ich weis das es mit f(2a-x)=2b-f(x) geht!

Nun habe ich es folgendermaßen auf die funktion bezogen:

$\begin{eqnarray*} 4*ln(\frac{2*(-2)-x+4}{2*(-2)-x}) = 2*(-2)-4*ln(\frac{x+4}{x} )-2 \end{eqnarray*}$

nun weis ich aber nicht weiter wie ich richtig umstelle! ich wollte zuerst durch 4 teilen, aber da kommt nix gescheites raus! Was mache ich falsch?

mfg

OnkelStephan

10.01.2005, 19:22

Mathespezialschüler

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Hab die beiden Threads mal zusammengefügt.
Der Definitionsbereich ist doch richtig! Natürlich kann man für x=-3 keinen Funktionswert berechnen, weil -3 nicht in deinem richtigen Definitionsbereich liegt.

10.01.2005, 20:26

OnkelStephan

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Ok
HI

Danke für die Antwort auf meine erste Frage! Hoffendlich weis noch jemand für die zweite Frage rat!

mfg

OnkelStephan

10.01.2005, 20:30

Mathespezialschüler

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Was ist denn bei dir in der Formel a und was b?? Und wie kommst du auf die Formel? (Ich kenn sie anders, müsste mir das genauer angucken ...)

10.01.2005, 20:39

OnkelStephan

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Also
Die Formel zur berechnung habe ich von meinem Lehrer bekommen!
a und b sind die Koordinaten für die Punkt, also a= -2 und b= -2!

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10.01.2005, 21:03

Mathespezialschüler

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Ja, sie ist richtig.
Du hast in deiner Gleichung auf der linken Seite das -2 vergessen, auf der rechten Seite muss das ein +2 sein. Also so:

$\begin{eqnarray*} 4\ln\left(\frac{-x}{-4-x}\right)-2 = -4-4\ln\left(\frac{x+4}{x}\right)+2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kanst du erstmal auf beiden Seiten +2 machen, danach durch 4 teilen und dann zeigst du erstmal, was du hast!

10.01.2005, 21:12

OnkelStephan

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Hallo

Wieso steht auf der rechten Seite denn nun +2 statt -2???

mfg

OnkelStephan

10.01.2005, 21:12

Calvin

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RE: Nachweis Punktsymetrie
Beim Einsetzen sind dir zwei Fehler unterlaufen. Auf der linken Seite nach dem ln fehlt noch -2. Auf der rechten Seite ist das Vorzeichen bei -2 falsch (alternativ: du hast die Klammern vergessen).

Mit Klammern gesetzt sieht das jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} 4*ln(\frac{2*(-2)-x+4}{2*(-2)-x})-2 = 2*(-2)-(4*ln(\frac{x+4}{x} )-2) \end{eqnarray*}$

Nun kannst du auf der linken Seite das im ln zusammenfassen und die Regel $\begin{eqnarray*} \ln{x}=-\ln{(1/x)} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Wenn du weiter zusammenfasst, kommst du auf 0=0. Da das eine wahre Aussage ist, ist die Symmetriebedingung auch erfüllt.

10.01.2005, 21:26

OnkelStephan

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Klingt ja ganz gut, aber ich habe doch auf der linken seinen ganz hinten noch -2 und auf der rechten aber -4 (vorne) und -2 hinten! Damit wird das doch nicht symetrisch!

Oder anders gefragt, wie mache ich auf der rechten Seite aus der -2 eine +2 wie es der Mathespezialschüler schon mal angedeutet hat???

mfg

OnkelStephan

10.01.2005, 21:33

Calvin

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Ich habe um f(x) auf der rechten Seite nochmal Klammern gesetzt. Wenn du die auflöst, dann kriegst du durch das Minuszeichen vor der Klammer +2 ans Ende.

EDIT
rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} -4-\left( 4\ln{\left( \frac{x+4}{x}\right) }-2\right) \end{eqnarray*}$

10.01.2005, 21:39

Mathespezialschüler

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RE: Nachweis Punktsymetrie

Zitat:

Original von Calvin
$\begin{eqnarray*} 4*ln(\frac{2*(-2)-x+4}{2*(-2)-x})-2 = 2*(-2)-(4*ln(\frac{x+4}{x} )-2) \end{eqnarray*}$

Da stehts, wenn vor der Klammer ein "-" steht, müssen beim Auflösen der Klammer die Vorzeichen umgedreht werden.

10.01.2005, 21:41

OnkelStephan

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Hi

Ich verstehe, ich bekomme dann dieses:

$\begin{eqnarray*} 4*ln*(\frac{-x}{-x-4})-2=-4*ln( \frac{x+4}{x})+2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich darauf nun die Regel ln x = -ln(1/x) anwenden bekomme ich auf beiden seiten das gleiche oder?

mfg

OnkelStephan

10.01.2005, 21:44

Calvin

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Auf der rechten Seite hast du noch vergessen, -4 zu "addieren".

Und zu deiner Frage: probiere es mal aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2005, 21:50

OnkelStephan

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Ich bin zu blöd
Ich komme da irgendwie nicht mit!

Könntest du mir bitte das Schritt für schritt auflösen bis ich sehe das die beiden Symetrisch sind??? Dann kann ich vielleicht besser nachvollziehen was nun wirklich im einzelnen passiert!

mfg

OnkelStephan

10.01.2005, 22:03

Calvin

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RE: Nachweis Punktsymetrie
OK, mache ich.
$\begin{eqnarray*} 4\cdot ln\left( \frac{2\cdot (-2)-x+4}{2\cdot (-2)-x}\right )-2 = 2\cdot (-2)-\left( 4\cdot ln\left( \frac{x+4}{x}\right) -2\right) \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen, was problemlos geht:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot\ln{\left( \frac{-x}{-4-x}\right) }-2=-4-\left( 4\cdot \ln{\left( \frac{x+4}{x}\right) }-2\right) \end{eqnarray*}$

links im Zähler und Nenner -1 ausklammern/kürzen und Klammer rechts auflösen:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot\ln{\left( \frac{x}{4+x}\right) }-2=-4-4\cdot\ln{\left( \frac{x+4}{x}\right) }+2 \end{eqnarray*}$

Weiter zusammenfassen und ln(x)=-ln(1/x) anwenden:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot\ln{\left( \frac{x}{4+x}\right) }-2=4\cdot\ln{\left( \frac{x}{x+4}\right) }-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

10.01.2005, 22:26

OnkelStephan

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Danke
Danke schön

Das hat mir echt geholfen!

10.01.2005, 22:43

Leopold

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Einige Bemerkungen zur Beweisführung.

Die Formel

$\begin{eqnarray*} f(2a-x) = 2b - f(x) \end{eqnarray*}$

zur Kennzeichnung der Punktsymmetrie ist zwar richtig, aber ungeschickt. Im allgemeinen dürfte es besser sein, mit

$\begin{eqnarray*} f(a+x)-b = b-f(a-x) \end{eqnarray*}$

oder leicht umgeformt:

$\begin{eqnarray*} f(a+x)+f(a-x) = 2b \end{eqnarray*}$

zu rechnen, da diese Formel symmetrisch zur Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aufgebaut ist. (@ MSS: Man erhält übrigens die erste Formel hieraus, indem man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ substituiert.)

Aber das ist nicht das Problem. Das Problem ist vielmehr euer Beweisaufbau, also die Logik hinter der ganzen Sache. Ihr beginnt den Beweis nämlich mit der Behauptung und leitet dann eine Folge von weiteren Gleichungen ab, also so:

$\begin{eqnarray*} \text{Term 1} = \text{Term 1'} \ \ \text{(Behauptung)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Term 2} = \text{Term 2'} \end{eqnarray*}$

usw.

$\begin{eqnarray*} \text{Term n} = \text{Term n'} \end{eqnarray*}$

bis ihr zu einer Gleichung kommt, die ihr als wahr erkennt. Dieses Beweisverfahren ist aber strenggenommen falsch. Zwar ließe sich die ganze Sache retten, wenn man hinterher feststellt und überprüft (es zu konstatieren reicht nicht!), daß alle Schritte umkehrbar sind, so daß tatsächlich äquivalente Gleichungen da stehen. Aber - ehrlich! - wer macht das schon?

Es ist daher besser, die Behauptung durch Termumformung zu beweisen, und zwar in der Form (ich nehme eure Formel):

$\begin{eqnarray*} f(2a-x) + f(x) = \ldots = \ldots = \ldots \ldots = \ldots = 2b \end{eqnarray*}$

Man sieht ja auch das Ziel besser, worauf es hinauslaufen muß, da man ja $\begin{eqnarray*} 2b \end{eqnarray*}$ von vorneherein kennt.

10.01.2005, 23:06

Mathespezialschüler

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Ja, ich weiß ja selbst, dass das nicht korrekt ist, aber ich wollte OnkelStephan nicht verwirren. Ihm etwas falsches zu erzählen bzw. richtiges zu verschweigen, ist zwar auch nicht das wahre, aber ich fand es diesem Fall zumindest weiter oben nicht angebracht.

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