Bernoulli verteilte ZVen

15.05.2007, 16:39

Miriam1986

Bernoulli verteilte ZVen

Hallo,

ich hänge gerade an einer Aufgabe... Vielleicht stehe ich auch nur gewaltig auf dem Schlauch!

Aufgabe:
Es seien $\begin{eqnarray*} X_{1}, X_{2}, ... \end{eqnarray*}$ unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit
$\begin{eqnarray*} P(X_{n}=1) = 1-P(X_{n}=0)=p_{n}\in (0,1) \end{eqnarray*}$
Geben Sie für jede der folgenden Aussagen eine äquivalente Bedingung an die Folge $\begin{eqnarray*} (p_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ an:

a) $\begin{eqnarray*} E((X_{n})^{q}) \end{eqnarray*}$ geht gegen 0 für n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q \geq 1 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (X_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert stochastisch gegen 0
c) $\begin{eqnarray*} (X_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert P-f.s. gegen 0

Wäre wirklich mit jeder kleinen Hilfe zufrieden... verwirrt

Danke

15.05.2007, 16:41

Miriam1986

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Bernoulli-verteilte Zven
das mit dem Latex hat wohl nicht geklappt... Habe keine Ahnung, wie das geht traurig

15.05.2007, 16:44

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Da stimmt was ganz und gar nicht: Kann es sein, dass du bei a),b),c) nicht über $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ , sondern über

$\begin{eqnarray*} \overline{X_n} := \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_n \end{eqnarray*}$

sprichst? Wie auch immer, editiere deinen Beitrag mal unter Nutzung des Formeleditors (LaTeX), momentan ist das nämlich alles grausam zu lesen.

EDIT: Hmmm, vielleicht meinst du doch $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ , kann sein.

15.05.2007, 16:48

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Zitat:

Original von Miriam1986
das mit dem Latex hat wohl nicht geklappt... Habe keine Ahnung, wie das geht traurig

LaTeX für Anfänger

15.05.2007, 17:13

Miriam1986

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Bernoulli-verteilte ZVen
Super DANKE =)

Jetzt stimmt die Aufgabenstellung

16.05.2007, 09:56

kingskid

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hi!
ich würde es so machen:

(a) $\begin{eqnarray*} E[(X_n)^q] = 0^q \cdot (1- p_n) + 1^q \cdot p_n = p_n \end{eqnarray*}$

also ist die äquivalente Bedingung: $\begin{eqnarray*} p_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} P(X_n \not= 0) = P(X_n=1) = p_n \end{eqnarray*}$

d.h. es muss gelten dass $\begin{eqnarray*} \sum p_n < \infty \end{eqnarray*}$ , damit man mit Borelli die P-f.s Konvergenz folgern kann.

(c) hier muss nach Def sein, dass
$\begin{eqnarray*} P(X_n) \geq \epsilon) \stackrel{ \epsilon > 0}{=} P(X_n=1) = p_n \end{eqnarray*}$
also ist wieder die äquivalente Bedingung $\begin{eqnarray*} p_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße smile

16.05.2007, 10:01

Miriam1986

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Huhuu =)

Vielen DANK!!!!

die b) hätte ich genauso gemacht *stolz*
Aber reicht das, es so hinzuschreiben???

Grüßle

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