Kugelvolumenberechnung speziell

10.01.2005, 23:26	Flinz	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelvolumenberechnung speziell Eine kleine Frage: kennt jemand irgendwo ein Diagramm, oder kanns mir kurz erläutern warum beim "umformulieren" (=paramtrisieren??) des Volumenintegrals einer Kugel mit Radius r gilt: $\begin{eqnarray} V = \int\limits^{}_{V} dV = \int\limits^{r}_{0}\int\limits^{2\pi}_{0}\int\limits^{\pi}_{0} r^2\,\sin\theta \,d\theta\,d\phi\,dr \end{eqnarray}$ oder anders gesagt: $\begin{eqnarray} dV = r^2\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,dr \end{eqnarray}$ danke, alex
10.01.2005, 23:42	Flinz	Auf diesen Beitrag antworten »
habs mittlerweile selbst rausbekommen, danke an etwaige helfer: ergibt sich aus der Volumenberechnung für ein infinitesimales volumenstück ; wenn man geeignet klammert ist es ersichtlicher: $\begin{eqnarray} dV = (r\,\sin\theta\,d\phi) (r\,d\theta) dr \end{eqnarray}$ wobei dies die drei dimensionen des kleinen quaderstücks sind.
10.01.2005, 23:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelvolumenberechnung speziell Es ist dV = dx dy dz in kartesischen Koordinaten. Nun kann man (x,y,z) mit den von dir angeführten Kugelkoordinaten schreiben - bei der Integraltransformation kommt dann aber noch der Betrag der Jacobischen Funktionaldeterminante als Faktor hinzu: $\begin{eqnarray} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=r^2\sin\theta \end{eqnarray}$ EDIT: Ja, so geht's auch, ist vielleicht "anschaulicher".
10.01.2005, 23:47	Flinz	Auf diesen Beitrag antworten »
wie leitet sich die jakobische funktionaldeterminante analytisch her? sozusagen "unanschaulich"
11.01.2005, 00:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\theta} & \frac{\partial z}{\partial\theta}\\ \frac{\partial x}{\partial\varphi} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} & \frac{\partial z}{\partial\varphi}\end{vmatrix} \qquad\mbox{mit}\quad\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
11.01.2005, 02:04	Flinz	Auf diesen Beitrag antworten »
thanks!
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