Funktionuntersuchung

15.05.2007, 17:02

Swety

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Funktionuntersuchung

Hi!!!
Eine Funktion ft ist gegeben durch ft(x)= $\begin{eqnarray*} x³-2tx²+t²x; t>0 \end{eqnarray*}$ . Ihr Schaubild sei Kt.
a) Untersuche Kt auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse sowie auf Extrem und Wendepunkte. Zeichne K2 und K3 für $\begin{eqnarray*} -1/2<x<4 \end{eqnarray*}$ in ein Achsenkreuz ein.
b) Alle Kurven Kt haben einen Punkt A gemeinsam. Gib die Koordinaten von A an. Ermittle die Gleichung der Kurve, auf der die Wendepunkte aller Kurven Kt liegen.
c) Die Kurve Kt, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x=(1)/(3)t \end{eqnarray*}$ schließen eine Fläche ein. Die Kurve $\begin{eqnarray*} C: y=4x³ \end{eqnarray*}$ teilt diese Fläche in zwei teilflächen. Zeige, dass das Verhältnis der Inhalte der Teilflächen unabhängig von t ist.
d) Die Tangente an Kt im Wendepunkt Wt schnedet die x-Achse in R, die y-Achse in S. Berechne den Inhalt A1(t) des Dreiecks ORS. Die Normale in Wt schneidet die y-Achse in M. Berechne den Inhalt A2(t) des Dreiecks SMW1. Für welchen Wert von t ist A1(t) =A2(t)?
So, das sind die Aufgaben und ich habe schon beim ersten Teil kein Überblick.

15.05.2007, 17:30

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Es wäre deutlich übersichtlicher, wenn Du für die Tiefstellung auch latex verwenden würdest. Wirklich gut liest sich dein Post nicht.

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=x^3-2t\cdot x^2+t^2\cdot x,~t>0 \end{eqnarray*}$

Der Graph sei mit $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Aufgabe a

Gemeinsame Punkte mit der x-Achse
-> Da ist gilt wohl $\begin{eqnarray*} f_(x)=0 \end{eqnarray*}$
Extremwerte
-> notwendiges Kriterium $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
Wendepunkte $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$
Schaubild für $\begin{eqnarray*} K_2,~K_3 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} ]-0.5,4[ \end{eqnarray*}$
-> einfach mal den Plotter hier testen

Wink

15.05.2007, 17:51

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
$\begin{eqnarray*} ft(x)=x³-2t*x²+t²*x=0 \end{eqnarray*}$ und dann?

15.05.2007, 17:59

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Wie wäre es damit, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^3-2t\cdot x^2+t^2\cdot x=0 \end{eqnarray*}$

zu lösen? Welche Methoden kennst du dafür? Ein scharfer Blick sollte einem das Stichwort Ausklammern aufzeigen.

15.05.2007, 18:01

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
$\begin{eqnarray*} x*(x²-2tx+(t²)/(x) ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2007, 18:09

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Ich weiß nicht was soll es bedeuten... verwirrt

verwirrt

Du meinst wohl:

$\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2-2t\cdot x+t^2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$

gibt es noch weitere Lösungen?

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15.05.2007, 18:12

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
ja, das meinte ich..tut mir leid, ich was gedanklich schon ein schritt voraus. Es gibt bestimmt weitere Lösungen, die Frage ist nur,wie ich darauf komme?! $\begin{eqnarray*} wir erhalten: x²-2t*x+t² oder? \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 18:16

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
ein Profukt ist 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist. also haben wir als zweiten Fall zu untersuchen

$\begin{eqnarray*} x^2-2t\cdot x+t^2=0 \end{eqnarray*}$

Wie lautet hier die Diskriminante?

15.05.2007, 18:22

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
X1,2= $\begin{eqnarray*} tx+(-)\sqrt{2t²x²} \cdot \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2007, 18:23

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Nein. Die Diskriminate ist das, was bei der abc-Formel unter der Wurzel steht.

$\begin{eqnarray*} D=(-2t)^2-4\cdot 1 \cdot t^2 \end{eqnarray*}$

Was kommt also für D raus? Wie viele Nullstellen gibt es also im untersuchten Fall 2? Bin mal zum Essen weg.

15.05.2007, 18:28

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
Mahlzeit!
Naja, da es keine negative Zahl unter der wurzel rauskommen kann, gibt es keine nullstellen...

15.05.2007, 18:36

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Kommt denn da eine negative Zahl raus? verwirrt

verwirrt

15.05.2007, 18:39

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
kommt da nicht -t² raus?

15.05.2007, 18:43

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Wüßte nicht warum.

$\begin{eqnarray*} D=(-2t)^2-4\cdot 1 \cdot t^2 = 4t^2-4t^2=0 \end{eqnarray*}$

Und mit einem geübten Blick erkennt man in der Funktion auch die binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} x^2-2t\cdot x+t^2=(x-t)^2 \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 18:44

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
kommt dann als LÖsung: $\begin{eqnarray*} x=0; x=tx raus? \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 18:45

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Text bitte nicht mit Latex schreiben. unglücklich

unglücklich

Also nochmal, bitte Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2007, 18:47

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
nochmal das gleiche? $\begin{eqnarray*} x=0; x=tx \end{eqnarray*}$ oder ?

15.05.2007, 18:48

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Wollte nur sicher gehen. Die zweite ist falsch.

15.05.2007, 18:49

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
aber wenn D=0 ist? och keine ahnung!

15.05.2007, 18:54

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
ich habe Dir 2 Wege genannt, die Nullstellen zu berechnen. Erkennt man die binomische Formel, so ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x^2-2t\cdot x+t^2=(x-t)^2 \end{eqnarray*}$

Und damit wohl die doppelte Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_{2,3}=t \end{eqnarray*}$ . auch mit Lösungsformel kommt man zu diesem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\frac{-(-2t) \pm \sqrt{D}}{2\cdot 1} = t \end{eqnarray*}$

Klar? verwirrt

verwirrt

15.05.2007, 18:57

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
klar smile

smile

15.05.2007, 18:58

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung

Zitat:

Original von tigerbine

Aufgabe a

Gemeinsame Punkte mit der x-Achse
-> Da ist gilt wohl $\begin{eqnarray*} f_(x)=0 \end{eqnarray*}$
Extremwerte
-> notwendiges Kriterium $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
Wendepunkte $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$
Schaubild für $\begin{eqnarray*} K_2,~K_3 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} ]-0.5,4[ \end{eqnarray*}$
-> einfach mal den Plotter hier testen

Dann mal weiter...

15.05.2007, 18:59

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
kann ich dich bitte noch ein wenig weiter nerven? Brauche die erste Ableitung, bin mir nicht sicher, ob ich die richtig habe..( na gut ich habe sie falsch)
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x²-4tx+t² \end{eqnarray*}$ ???

15.05.2007, 19:02

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Wenn Du meinst, dass sie falsch ist...warum schreibst Du sie dann hin... Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=x^3-2t\cdot x^2+t^2\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)=3\cdot x^2-4t\cdot x+t^2 \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 19:06

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
die hoffnung besteht ja immer smile

smile

. Jetzt muss ich das ganze wieder umstellen traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} ft(x)=3x²-4tx+t² \end{eqnarray*}$ :3
$\begin{eqnarray*} x²-(4)/(3)tx +t²/3 \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2007, 19:15

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Was soll immer dieses / bedeuten? Und Du sollst das och 0 setzten. Warum schriebst du die Gleichung nicht komplett?

15.05.2007, 19:16

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
/ = :

15.05.2007, 19:17

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
okay, sir^^ angenommen, ich habe die gleichung vollständig aufgeschrieben, wäre sie richtig?

15.05.2007, 19:21

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Teufel

Teufel

Use \frac{}{} für Brüche und \cdot für Mal. Danke.

$\begin{eqnarray*} 3\cdot x^2-4t\cdot x+t^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot [x^2-\frac{4t}{3}\cdot x+\frac{t^2}{3}]=0 \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 19:29

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
$\begin{eqnarray*} x²-\frac{4t}{3} \cdot x +\frac{t²}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x= \frac{2t}{3} \cdot x\pm \sqrt{} \frac{4}{9} \cdot x²-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1; x= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2007, 19:38

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Warum kannst du nicht "=0" schreiben? verwirrt

verwirrt

Alleine

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x²-\frac{4t}{3} \cdot x +\frac{t²}{3} \end{eqnarray*}$

Macht hier doch keinen Sinn unglücklich

unglücklich

Für die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)=3\cdot x^2-4t\cdot x+t^2 \end{eqnarray*}$

lauten die Nullstellen - Lösungen von

$\begin{eqnarray*} 3\cdot x^2-4t\cdot x+t^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2}=\frac{+4t\pm\sqrt{16t^2-4\cdot3\cdot t^2}}{2\cdot 3} = \frac{4t\pm \sqrt{4t^2}}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=t,~x_2=\frac{1}{3}t \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 19:47

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
erstmal danke für deine hilfe!!!!!!!!!!

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x-4t+t²=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-\frac{2}{3} \cdot t+\frac{t²}{6}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{1}{9}- \frac{t²}{6}} \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 19:51

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
$\begin{eqnarray*} f_t'(x)=3\cdot x^2-4t\cdot x+t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_t''(x)=6\cdot x-4t \end{eqnarray*}$

Ich habe bei Dir nur mal die Wurzeln, Indizes editiert. Ohne Wertung der Korrektheit. ich hätte da auch eine andere Ableitung...

15.05.2007, 19:54

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
oki. Dann ist die Aufgabe a gelöst!!!

15.05.2007, 19:55

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Sicher? Die Nullstellen müssen nicht lok. Extremwerte und WEndepunkte sein. Sind aber die einzig möglichen Kandidaten. Das verbarg sich hinter dem Wort notwendig.

15.05.2007, 20:02

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
Extremwerte: $\begin{eqnarray*} x= (t/0) x=1/3; 0) \end{eqnarray*}$
Wendepunkte ( $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \cdot t, 0) \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 20:06

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Sicher dass die alle den Funktionwert 0 haben? (nicht nachgerechnet, doch auf den ersten Blick seltsam). Wie prüft man denn, ob ein Kandidat auch wirklich Extrema ist?

15.05.2007, 20:08

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
Einsetzen in die Ausgangsgleichung+ Einsetzen in die zweite Ableitung!

15.05.2007, 20:11

tigerbine

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RE: Funktionuntersuchung
Und was muss für die 2te Ableitung gelten?

15.05.2007, 20:12

Swety

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RE: Funktionuntersuchung
X<o ---> Maximum
x>o ---> Minimum

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