inverse lineare abbildung

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gast85 Auf diesen Beitrag antworten »
inverse lineare abbildung
hi,

ich habe folgende frage: ich soll zu folgendm bsp f^-1 berechnen, weis aber nicht wie das geht...

f= \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & +x_2 & +x_3 \\ x_1 & -x_2 \\ x_2 & +5x_3 \end{pmatrix}

wenn ich nur x_1 und x_2 hab, also eine 2x2-matrix, dann kann ich es schon berechnen, so dass ich I herausbekomme, aber ich weis nicht wie es mit 3 verschiedenen x geht.....

und genau das selbe problem hab ich, wenn ich A^-1 ausrechnen soll....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inverse lineare abbildung
Zitat:
Original von gast85
hi,

ich habe folgende frage: ich soll zu folgendm bsp f^-1 berechnen, weis aber nicht wie das geht...



wenn ich nur x_1 und x_2 hab, also eine 2x2-matrix, dann kann ich es schon berechnen, so dass ich I herausbekomme, aber ich weis nicht wie es mit 3 verschiedenen x geht.....

und genau das selbe problem hab ich, wenn ich A^-1 ausrechnen soll....


hier mal mit latexcode Augenzwinkern
@gast: du musst latex und /latex in eckigen klammern davor und dahinter schreiben.

mfg jochen


edit: abbildungsmatrix bestimmen und diese invertieren?
 
 
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

oh...sorry, hab ich vergessen...

danke für´s einfügen ;-)

erm... in meiner angabe steht: berechne die inverse lineare abbildunf f^-1 von der angegebenen matrix
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst dir ja deine lineare abbildung als matrix denken (darstellungsmatrix), diese heiße A und ist nicht so schwer aufzustellen..

x, y seien elemente des R³.

dann gilt : f(x)=A*x=y
jetzt soll gelten: f'(y)=x, also f'(A*x)=x, daraus folgt, darstellungsmatrix von f' ist A^(-1). (f' sei f^(-1))

dazu musst du also nur A invertieren.

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das steht in meinem skriptum auch, check ich aber nicht....

ich hab gelernt, dass ich dass mit einem verfahren mache, das aussieht wie ein eliminationsverfahren, nur rechnet man die sachen irgendwie zusammen......
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du weißt nicht, wie man eine matrix invertiert?
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

nein.....;-)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

also dann gebe ich dir mal diesen tipp: (A' sei A^(-1))

es gilt A*A'=I
außerdem natürlich I*A'=A'

daraus resultiert folgendes verfahren:
wandle A durch gaussalgorithmus in I um. dabei multiplizierst du gewisse elementarmatrizen an..... also hast du am ende C1*C2*C3*....*Cn*A=I (klammerung egal wegen assoziativität).
dabei muss also gelten, dass C1*...*Cn = A' ist, okay?
also verfolgst du deine rechnung, indem du sie an der einheitsmatrix mitprotokollierst......
d.h. du machst die selben umformungsschritte auch an der einheitsmatrix, diese wird dann zu C1*C2*C3*....*Cn*I=A'.

verstanden?

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, das versteh ich auch nicht wirklich.... vielleicht kannst dus mir mit einem einfachen zahlenbsp erklären.....????
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay einfaches 2x2 beispiel;
ich wandle links zu A zu I um, rechts I zu A'.

(das linke ist mein ursprüngliches A)


1 zeile *(-3) auf die 2. addieren

2. zeile 2* auf die erste addieren

2. zeile *(-1)


tada! links steht das inverse!

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ja ...so weit versteh ichs schon, aber wie funktioniert das, wenn ich nun eine 3x3 matrix habe???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

genauso, links deine matrix, rechts 3x3 einheitsmatrix (I_3, E_3 oder wie immer man die nennen mag)
linke matrix zu I umwandeln, rechts mitprotokollieren.
am ende steht dann rechts die inverse.

mfg jochen
gast Auf diesen Beitrag antworten »

gabs da auch nicht sowas wie die determinante ausrechnen, und sobald sie ungleich 0 ist bzw. kein entsprechendes in einem anderen Körper, so errechnet sich das Inverse in dem man A / det A rechnet.
könnte falsch sein...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ne dafür brauchst du die adjunkte und die musst du transponieren und dann durch 1/det(ursprungsmatrix) teilen.... (oder ähnlich)
aber finger weg, verwende lieber mein (einfaches) verfahren....
obiges eignet sich für 2x2 matrizen...
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

aha, jetzt haben wir mein eigentliches problem gefunden....wie sieht eine 3x3 einheitsmatrix aus...???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

auf der hauptdiagonalen 1er, sonst 0er.


edit: wie jede einheitsmatrix, nur eben 3. zeilen, 3. spalten
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

also so:

1 0 0
0 1 0
0 0 1
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
genau so und jetzt invertieren mit obigem verfahren.
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar...ich poste dann mein ergebnis...bis gleich
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

nein....ich schaffs trotzdem nicht.... bei deinem bsp kann ichs nachvollziehen aber bei meinem weis ich nicht wie ich anfangen soll...

ich hab folgende angabe:

1 1 1
1 -1 0
0 1 5

zuerst muss ich schauen, dass ich den 5er wegbekomme, damit er ein einser wird, oder???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

genau das soll invertiert werden...
sagt dir gaussalgorithmus etwas? das bringen auf treppenform?

mfg jochen


edit: ne zuerst die erste 1 in der 2. edit: ZEILE wegmachen.
(-1)* die erste auf die 2. addieren
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

nein, sagt mir gar nichts

krieg ich dann das hier:

1 0 1
1 -2 0
0 1 5
?????????????
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, ich meinte ZEILE, ich editiers oben
du machst jetzt zeilenumformungen, das heißt
a) vertaushen von zeilen
b) teilen durch linearfaktoren bei einer zeile
c) vielfache aufeinanderaddieren
bis du I_3 hast...
also (-1)* die erste ZEILE auf die 2. addieren
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h.

0 0 0
0 -2 -1
0 1 5
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wie hast du diese nullzeile da hinbekommen?!
merke: nullzeil oder nullspalte erzeugbar => determinante=0 => matrix nicht invertierbar

poste mal deine zwischenschritte


edit: nachm ersten schritt sollte es so aussehen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

achso...ich dachte einfach, dass ich die -1 von der ersten zeile auch abziehen muss....ups....und jetzt muss ich schaun, dass ich von der zweiten zeile in die dritte komme???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du versuchst links die einheitsmatrix hinzukriegen, erste spalte hat geünschte form, d.h. du versuchst jetzt, das die 2. spalte so aussieht:
0
1
0

wenn du das hast, dann machst du die 3. spalte so:
0
0
1

und dann hast du deine einehitsmatrix.....
aber immer schön rechts mitrechnen.... denn da soll ja nachher deine inverse stehen... also auch da (-1)* erste zeile zur 2. addieren; siehe mein erster schritt

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

ok... ich muss also jetzt die zweite zeile mit 3 multiplizieren???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wozu?
du hast ja oben die matrizen nach dem ersten schritt.....
jetzt teilst du die 2. zeile durch 2, danach addierst du sie auf die erste zeile und auf die dritte zeile, um über und unter der 1 nuller zu erzeugen.
mach das mal und poste dann dein zwischenergebnis.
vergiss die rechte seite nicht!
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. man darf alle rechenregeln verwenden +, - / , *.....das wusste ich nicht...

dann krieg ich das raus:

1 0 1 / 1 1 0
0 1 -1 / -1 0 0
0 0 5 / 0 1 1
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, hab mich jetzt grad irgendwie in neuntel reingerechnet.... sieht bei mir anders aus, aber ich kann mich ja verrechnen....
buah, naja, bring deine linke matrik mal vollständig auf einheitsmatrix und dann kannst du das rechte ja mal testen, indem du's mit deiner ausgangsmatrix multiplizierst.
wenn da I rauskommt Freude
wenn nicht, nochmal rechnen....

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also ich habs nochmal neun aufgeschrieben, jetzt steht bei mir:



und dann muss ich mal das letzte -1 das noch da steht wegrechnen und dann den 5er ganz unten zum 1er machen, richtig???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube immer noch, das du dich verrechnet hast.... wenn du (1/2)* die zweite zeile auf die dritte addierst, bleibt bei mir, wo du eine 5 stehen hast eine 9/2 übrig... denn 5+ (1/2)*(-1)=4,5......

muss jetzt aber erst mal weg, evtl. kanns ja jemand anders noch nachrechnen...
wie gesagt, dein ergebnis zu testen ist nachher ganz einfach.....

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid...ich versteh jetzt gar nichts mehr........ ich glaub ich geb auf....vielleicht schau ich morgen noch mal rein..... nur blöd, dass ich diesen mist auch zur prüfung brauche.....trotzdem danke für deine hilfe....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

kein problem, schlaf erst mal drüber......
aber gaußalgorithmus sollte dir echt was sagen......

schau mal in deinen aufschrieben, ansonsten werden wir das noch mal in aller ruhe durchrechnen....

kopf hoch!

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

also dieses verfahren sagt mir wirklich nichts.....
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

hey,

ich habs jetzt denk ich gecheckt.....

die linke seite sieht so aus:

1 0 0,5
0 1 0,5
0 0 4,5

ich glaub, schlaf und eine stunde spazieren gehen an der frischen luft, hat mir besser getan, als ich geglaubt hab :-))
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das musst du jetzt noch auf diese form bringen:
100
010
001
Einheitsmatrix

und dann sollte rechts aus der einheitsmatrix vom anfang das inverse geworden sein......
habs aber noch nicht nachgerechnet....

mfg jochen
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

also mir kommt dann im nächsten schritt folgendes raus:

1 0 0,5 / 1 1 0,5
0 1 0,5 / -1 2 0,5
0 0 4,5 / 0 1 1,5

wenn ich 0,5 durch 4,5 dividiere, kommt ja 0,1 raus.... kann ich da null schreiben schon, oder???
gast85 Auf diesen Beitrag antworten »

blödsinn....sorry, ich muss ja nur raufaddieren....also krieg ich dann

1 0 -0,5
0 1 -0,5
0 0 1

aber da komm ich mit der rechten seite nicht zurecht...., weil es ja im nächsten schritt so aussehen muss:

1 0 0 / 1 1 1
0 1 0 / 1 -1 0
0 0 1 / 0 1 5

das, soll ich auch mein ergebnis sein, oder....
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