Laplace Gleichung

16.05.2007, 16:54	zeusosc	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace Gleichung Hi folks, könnt ihr mir mal bitte kurz auf die sprünge helfen? Ich suche die Allgemeine Lösung für $\begin{eqnarray} \Delta \phi (\vec{r})=\Delta \phi (r,\vartheta ,\varphi) =0 \end{eqnarray}$ was ich bis jetzt habe: Da ich zwei Achsensymetrien habe (Kugel) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \Delta \phi (r)=0 \end{eqnarray}$ nun muss ich das Ganze integrieren (aufleiten lol) $\begin{eqnarray} \int_V 0 dV=\int_V div (grad \phi(r))dV \end{eqnarray}$ Nach dem Integralsatz von Gauss folgt: $\begin{eqnarray} \int_V div (grad \phi(r))dV=\oint_S grad\phi(r)d\vec{S} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d\vec{S}=R^2\sin{\vartheta}d\vartheta d\varphi\vec{e_r} \end{eqnarray}$ einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int_0^{2\pi}\int_0^\pi grad{\phi(r)}R^2\sin{\vartheta}d\vartheta d\varphi\vec{e_r} \end{eqnarray}$ wie nun weiter...???? thx
16.05.2007, 19:16	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Kenn die aufgabenstellung nicht genau, aber wenn das bis hierhin stimmt dann kannst du den Gradienten für $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ einfach mit folgendem angeben: $\begin{eqnarray} grad \ \phi=\frac{\partial \phi}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\vec{e_{\theta}}+\frac{1}{r\ sin(\varphi)}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\vec{e_{\varphi}} \end{eqnarray}$ mit dem Divergenzsatz gilt dann: $\begin{eqnarray} \int_V \nabla\cdot (\nabla\phi)dV=\int\int_S\nabla\phi \cdot d\vec S \end{eqnarray}$ wenn man alles einsetzt und das Punktprodukt auflöst, ergibt sich: $\begin{eqnarray} \int\int_S(\frac{\partial \phi}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\vec{e_{\theta}}+\frac{1}{r\ sin(\varphi)}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\vec{e_{\varphi}})\cdot(R^2sin(\theta)d\theta d\varphi \vec{e_r})=\int\int_S \frac{\partial \phi}{\partial r}R^2sin(\theta)d\theta d\varphi \end{eqnarray}$ damit würdest du doch aber eher einen konkreten Wert ausrechen? Meinst du dass das nicht eher ne PDG aufgabe ist, wo du eine partielle DGL mit Anfangswerten bestimmen musst oder zumindest eine gewöhnliche DGL?
16.05.2007, 19:44	zeusosc	Auf diesen Beitrag antworten »
Konkrete werte sollten eigentlich nicht rauskommen, also gesucht ist $\begin{eqnarray} \phi(r)=? \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \Delta\phi(r)=0 \end{eqnarray}$ muss man den gradienten soweit aufblähen?reicht nicht nur der radialanteil da aufgrund der achsensymetrie die beiden komponenten theta und phi wegfallen?? thx -------------------------- edit: achso jetzt seh ichs............. ist ja weggefallen edit2: ich habe ein paar randbedingungen die ich dann in die algemeine lösung der 1dimensionalen laplace gleichung einsetzen muss...... grüüüße ----- Doppelpost zusammengefügt! ------ also: $\begin{eqnarray} \int\int_S\frac{\partial\phi}{\partial r}R^2\sin{\vartheta}d\vartheta d\varphi=\int\int_0^{2\pi}\frac{\partial\phi}{\partial r}(-2)R^2d\varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-4\pi\int\frac{\partial\phi}{\partial r}R^2 \end{eqnarray}$ ich weiß jetzt bloß nicht ganz was ich mit den letzten term anfangen kann, besonders mit $\begin{eqnarray} \int\frac{\partial\phi}{\partial r} \end{eqnarray}$ ----- Doppelpost zusammengefügt! ------ ok,..probier ich es mal $\begin{eqnarray} -4\pi R^2\int\frac{\partial\phi}{\partial r}=-4\pi R^2\int 1\cdot\frac{\partial\phi}{\partial r}=-4\pi R^2\int f\frac{\partial\phi}{\partial r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-4\pi R^2\left(\phi\cdot f-\int f' \phi\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \phi=\int f'\phi dr \end{eqnarray}$ also mit partieller integration wird das also auch nüx.... Edit(Dual Space): Kennst du die Edit-Funktion?!
17.05.2007, 11:54	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass du eher eine DGL lösen sollst? Wenn du mal bei Wikipedia hier ( Laplace Operator ) guckst, für Kugelkoordinaten, dann ist deine Aufgabe meiner Meinung nach so zu verstehen: $\begin{eqnarray} \Delta\phi(r)=0 \end{eqnarray}$ , jetzt mit dem Laplace Operator für Kugelkoordinaten und der Tatsache, dass phi nur von r abhängt ergibt sich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial \phi}{\partial r})=0 \end{eqnarray}$ weil die anderen Ableitungen alle Null sind. Da $\begin{eqnarray} \phi=\phi(r) \end{eqnarray}$ ist hast du somit die Gewöhnliche DGL: $\begin{eqnarray} \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\phi}{dr})=0 \end{eqnarray}$ und schließlich: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dr}(r^2\frac{d\phi}{dr})=0 \end{eqnarray}$ was sich mit der Kenntniss von geeigneten Anfangsbedingungen oder auch allgemein leicht lösen läßt. Gruß Jan

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