Span vs. ES

16.05.2007, 18:26	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Span vs. ES Hallo, ich habe heute den Begriff des Spann und den es ES(Erzeugendensystem) kennen gelernt. Leider ist mir jetzt nicht ganz klar, wo der genau Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen ist. Kann ich es so verstehen, dass aus einem Spann ein ES folgt, wenn dieses einen VR aufspannt? Falls dieses so ist, könnte mir dann jemand ein Beispiel nennen, wo dieses einmal zutrifft und einmal nicht. Wäre echt super. Viele Grüße -- MrMilk
16.05.2007, 20:16	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Unterschied ist in etwa der: Der Spann erzeugt dir aus einer gegebenen Menge den kleinstmöglichen Vektorraum, der diese enthält. Beim Erzeugendensystem ist die Sache eher umgekehrt: Dir wird ein Vektorraum vorgegeben und du sollst eine Menge finden, deren Spann diesen erzeugt.
16.05.2007, 20:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Span vs. ES Hallo, seien $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3 \in V \end{eqnarray}$ und V ein Vektorraum mit dem Skalarkörper $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} span<v_1,v_2,v_3> \end{eqnarray}$ wird die Menge aller Vektoren aus V bezeichnet, die man durch Linaerkombination dieser 3 Vektoren erhalten kann. Also: $\begin{eqnarray} span<v_1,v_2,v_3>=\{v\in V\|~v = \sum_{k=1}^3\alpha_k\cdot v_k,~\alpha_k \in \mathbb K\} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst Du dir mal überlegen, ob span ein Unterrvektorraum von V ist. Bei einem Erzeugendensystem ist die Blickrichtung eine andere. Wir haben einen (Unter)-Vektorraum gegeben und suchen eine Menge von Vektoren, durch deren Linearkombination wir alle Vektoren des (Unter)-Vektorraums erzeugen können. Die Vektoren können auch Linear abhängig sein. (Was gilt für eine Basis?) Gruß EDIT: Da war jemand schneller ...
16.05.2007, 22:23	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die Antworten. Da mir die ganze Thematik noch ein wenig fremd ist, eine vielleicht doofe frage, aber was ist ein "kleinstmöglicher" Vektorraum. Ich habe es immer so verstanden, dass Alle Elemente in V sein müssen bezüglich der Addition und Subtraktion. Wie kann da etwas klein oder groß sein? Mir kommt das alles so unendlich groß vor :-( Viele Grüße -- MrMilk
16.05.2007, 22:58	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray} M\subseteq V \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \langle M\rangle = \bigcap_{M\subseteq U\leq V} U \end{eqnarray}$ In Prosa: Ist $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ irgendein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , der $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ enthält, dann gilt $\begin{eqnarray} \langle M\rangle \subseteq U \end{eqnarray}$ .
17.05.2007, 13:12	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel sagt manchmal mehr als 1000 Worte. Nimm dir den IR³ (das ist die Menge aller (x,y,z) mit x,y,z aus IR). Im IR³ nehmen wir mal zwei Vektoren, nämlich v=(1,0,0) und w=(1,1,0). Was ist jetzt der Span von v und w? Dieser ist definiert durch $\begin{eqnarray} {\mathrm span}\{v,w\} = \left\{ \alpha v + \beta w : \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}. \end{eqnarray}$ Der Span von v und w ist also die Menge aller Linearkombinationen von v und w. Also $\begin{eqnarray} {\mathrm span}\{v,w\} &=& \left\{ \alpha v + \beta w : \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}\\ &=& \left\{\alpha (1,0,0) + \beta (1,1,0) : \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}\\ &=& \left\{(\alpha,0,0) + (\beta,\beta,0) : \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}\\ &=& \left\{(\alpha + \beta,\beta,0): \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}. \end{eqnarray}$ Ein Erzeugendensystem ist immer bezogen auf einen Vektorraum. Soll heißen: Der Satz "bla ist ein Erzeugendensystem" macht keinen Sinn. Es ist wichtig, wovon bla ein Erzeugensystem ist. Definition: Seien V ein Vektorraum und v_1,v_2,...,v_n Vektoren aus V. Die Menge {v_1,v_2,...,v_n} heißt Erzeugendensystem von V, wenn die Vektoren v_1,v_2,...,v_n den Raum V aufspannen, d.h., wenn span{v_1,v_2,...,v_n} = V gilt. Ist {v,w} jetzt denn ein Erzeugendensystem für V = IR³? Aufgaben: (a) Seien v und w wie oben. Zeige: span{v,w} = span{(1,0,0),(0,1,0)}. (b) Gib ein Erzeugendensystem des IR³ an.
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