Äquiv. Normen -> Gleiche Topologie

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SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
Äquiv. Normen -> Gleiche Topologie
Hi zusammen,

hab mal wieder ein Problem bei einer Aufgabe.

Wir haben in der Vorlesung beliefert bekommen, dass gilt :

Zitat:

Sind 2 Normen || || und || ||* Äquivalent, so erzeugen sie die gleiche Topologie.



Nun heißt die Aufgabe : Zeige das auch die Umkehrung gilt.

Ok ich soll also zeigen, dass wenn ich eine Topologie habe, dass dann 2 Normen auf dieser Topologie Äquivalent sind.

2 Normen sind Äquivalent wenn und gilt.


Wäre super wenn mir jemand erstmal ausformulieren könnte wie ich da vorzugehen hab ?

Als Tipp hab ich : Verwende die Identität als Abb von (E,|| ||) nach (E, || ||*) und verwende den Satz 22.6.
22.6 ist nur ein Satz der besagt das eine Abb f von A nach B stetig ist wenn eine Konstante C existiert sodass ||f(x)|| <= C||x||.


Verstehe nur nicht wie mir das weiterhilft.
Klar ist :

Die Identität ist schoneinmal stetig von E auf E mit Konstante C = 1.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schwer dir zu helfen, ohne direkt die Lösung hinzuschreiben... Überlege nochmal, welche Normen du in



jeweils einsetzen musst. Dann bist du eigentlich fertig.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Find ich irgendwie seltsam.. wenn ich da die Norm einsetzte habe ich ja die Norm der Norm oder seh ich das falsch ? also || ||||* ||

Kann ich denn einfach die Norm als funktion f(x) dort einsetzen?


Ich brauche doch sicherlich ersteinmal


f : (E,|| ||) -> (E,|| ||*)

mit f = id

Aber wenn f meine Identische Abbildung ist dann kann rechts doch garkeine andere Norm stehen oder ?

Puh also irgendwie find ich das doch recht verzwickt
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SilverBullet
Aber wenn f meine Identische Abbildung ist dann kann rechts doch garkeine andere Norm stehen oder ?

Doch, links steht die Norm vom Bildraum von f, rechts die Norm vom Urbildraum.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquiv. Normen -> Gleiche Topologie
Zitat:
Original von SilverBullet
22.6 ist nur ein Satz der besagt das eine Abb f von A nach B stetig ist wenn eine Konstante C existiert sodass ||f(x)|| <= C||x||.

Dann ist der Satz falsch! Du hast ein wichtiges Wort vergessen.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Naja in dem Satz soll weiter f eine lineare Abb sein und E,F normierte VR.
Und die Ungleichung gilt für alle x aus E.

Ok also kann ich echt einfach schreiben :

||id(x)|| -> ||x||* und andersherum.

Das sieht irgendwie seltsam aus.. Müssten dann nicht beide normen sogar gleich sein ?
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtig war das Wort "linear", welches du vergessen hattest zu schreiben. Ohne dieses Wort ist dein Satz falsch.

Also, du sollst zeigen: "Erzeugen zwei Normen auf einem Vektorraum E die gleiche Topologie, dann sind sie äquivalent." Betrachte dazu die Identität als Abb von (E,|| ||) nach (E, || ||*) und zeige, dass diese Abbildung stetig ist! Dann hast du die eine Ungleichung (mithilfe deines Satzes). Dann auf gleiche Weise die Umkehrabbildung betrachten (die ja auch die Identität ist) und dadurch die andere Ungleichung bekommen.

Mach dir klar, was es bedeutet, dass

a) eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen stetig ist (Definition) und
b) zwei Topologien gleich sind.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja wir hatten in der Vorlesung einmal etwas da kamen wir dann drauf das 2 Topologien gleich sind. Als Beweis haben wir nur gezeigt das jede offene Menge in der einen Topologie auch offen in der anderen ist.

Komme trotzdem nicht weiter.

id ist doch immer stetig zwischen 2 top. Räumen.
Also ist jedes ||f(x)|| <= C||x||

x ist aber eine offene Menge aus meinem Bildraum.
Und diese offene Menge ist wieder offen als Urbild einer stetigen Abbildung in meinem Urbildraum.


Aber weiter bringt mich das doch noch nicht args
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SilverBullet
id ist doch immer stetig zwischen 2 top. Räumen.

Du machst einen entscheidenden Fehler (und nicht nur hier!): du schließt zu schnell. Die obige Behauptung z.B. ist schlichtweg falsch. Mal ganz davon abgesehen, dass id zwischen 2 verschiedenen topologischen Räumen (also von den Elementen her verschieden) gar nicht definiert ist.

Schreib hier bitte rein, was
(1) eine Topologie auf einem Raum eigentlich ist und
(2) was Stetigkeit einer Abbildung zwischen 2 topologischen Räumen bedeutet (Definition).

Anders kommen wir hier nicht weiter.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also:


1. Eine Topologie T auf einer Menge X ist eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften:

a: Leere Menge und X
b:Für ist auch die Vereinigung und der Schnitt in T.

Also endliche Schnitte und Vereinigungen offener Mengen sind wieder in der Topologie.


2.Seien E,F normierte VR, f: E -> F lineare Abb.

f stetig <=> wenn es eine Konstante C > 0 gibt, sodass:

für alle x aus E


edit : Nachtrag : Ein Vektorraum wird zu einem Topologischen Raum, indem dem man die offenenen Mengen des Vektorraumes dadurch definiert, dass diese genau die Umgebungen zu allen Punkten aus dem Vektorraum sind

Ok das sind jetzt erst einmal die Definitionen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.: Grauenhaft! Bitte nochmal. Und zwar ganz genau!

Zu 2.: Danach hatte ich nicht gefragt. Schau dir bitte die Fragen genau an. Du bist einfach viel zu schnell. Auch wenn es unangenehm ist... denke langsamer.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Bin jetzt total verwirrt und jetzt check ich so oder so nichts mehr.

Als erstes die Definition einer Topologie auf einer "MENGE"
dannach die Defintion eines Topologischen "VEKTOR"raumes
Weil ich nu garnicht weiß was gefragt ist :

Eine Topologie ist eine Familie T von Teilmengen („die Familie der offenen Mengen“) der Grundmenge X, für die folgende Axiome erfüllt sind:

* Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
* Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
* Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf X heißt topologischer Raum (X,T).


in topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist.

Sei K=R oder K=C. Ein K-Vektorraum E, der zugleich topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn folgende Verträglichkeitsaxiome gelten:

* Die Addition E×E->E ist stetig,
* Die Skalarmultiplikation K×E->E ist stetig.



Zu 2: Es gibt keine Definition der Bedutung. Aber vielleicht die Bedeutung der Definition ? Das wäre dann :
Das eine konvergenze Folge des einen Raumes unter der Abbildung auch konvergiert im anderen
L.U.K.A.S Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
da ich die gleichen Aufgaben wie SilverBullet bearbeiten muss klinke ich mich mal in diesen Beitrag ein. Ich habe nach langem Überlegen nun verstanden was Webfritzi meinte und probiere dies nun auszuführen.
Also zunächst einmal komme ich auf seine Frage zurück. Dazu zitiere ich l unser Skript.

Sei Abb. topologischer Räume, . Dann heißt stetig in falls zu jeder Umgebung von eine Umgebung von existiert mit .

So, nun hab ich mir das mal ein wenig genauer angesehen. Und mir überlegt, das
für
Entsprechend ist
für

Nun hab ich mich gefragt, ob die Norm vom Urbildraum auf die Norm vom Bildraum abgebildet wird.
Liegen dann nicht automatisch alle in .
Wenn ja wie kann ich das begründen.
Wenn nicht, wie beweise ich die Stetigkeit?
Wie mache ich geschweifte Klammern in einem Latex TAG ?

Luka$
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SilverBullet
Eine Topologie ist eine Familie T von Teilmengen („die Familie der offenen Mengen“) der Grundmenge X, für die folgende Axiome erfüllt sind:

* Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
* Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
* Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf X heißt topologischer Raum (X,T).

Genau. Warum nicht gleich so?

Zitat:
Original von SilverBullet
Zu 2: Es gibt keine Definition der Bedeutung.

Ich wollte von dir die Definition von "Stetigkeit einer Abbildung zwischen topologischen Räumen". L.U.K.A.S gibt sie dir:

Zitat:
Original von L.U.K.A.S
Sei Abb. topologischer Räume, . Dann heißt stetig in falls zu jeder Umgebung von eine Umgebung von existiert mit .


So ist es! Ich gebe hier noch eine äquivalente Definition, die für unsere Zwecke besser ist:

Sei Abb. topologischer Räume, . Dann heißt stetig in falls zu jeder offenen Menge mit eine offene Menge mit existiert mit .


Zitat:
Original von L.U.K.A.S
So, nun hab ich mir das mal ein wenig genauer angesehen. Und mir überlegt, das
für
Entsprechend ist
für

Nun hab ich mich gefragt, ob die Norm vom Urbildraum auf die Norm vom Bildraum abgebildet wird.
Liegen dann nicht automatisch alle in .
Wenn ja wie kann ich das begründen.
Wenn nicht, wie beweise ich die Stetigkeit?

Sorry, aber ich verstehe hier rein gar nichts. Drück dich doch bitte verständlicher aus.

Zitat:
Original von L.U.K.A.S
Wie mache ich geschweifte Klammern in einem Latex TAG ?

Mit \{ und \}. Ach, und nochwas: du kannst ruhig die Dollarzeichen in deinen Latex-Tags weglassen. Wenn du einen Latex-Tag öffnest, bist du automatisch im Math-Mode.

Also Leute. Jetzt haben wir ja alle Definitionen zusammen, die wir brauchen. Es sei also E ein Vektorraum mit zwei Normen ||.|| und ||.||*, die beide ein und dieselbe Topologie erzeugen. Warum ist jetzt die Identität

I: (E,||.||) --> (E,||.||*), Ix := x für x aus E

stetig in jedem x aus E?
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