lineares Gleichungssystem [Gs]

16.05.2007, 23:13

-Styla-

lineares Gleichungssystem [Gs]

Es ist etwas sehr einfaches, das ich hier erfrage, doch ich komme nicht drauf:
$\begin{eqnarray*} \sigma_x - \gamma*(\sigma_y+\sigma_z)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_y - \gamma*(\sigma_z+\sigma_x)=0 \end{eqnarray*}$
Gamma und Sigma z seien gegeben.

Wie kommt man auf
$\begin{eqnarray*} \sigma_x=\sigma_y=\frac{\gamma}{1-\gamma}*\sigma_z \end{eqnarray*}$

Bitte vorrechnen. Kriege es leider nicht hin bzw. denke es ist falsch. Stammt aus einem Buch.

[modedit: Titel ausschreiben]

17.05.2007, 01:28

G(r)auß

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Hallo,

hilft Dir das weiter:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -\gamma & -\gamma \\ -\gamma & 1 & -\gamma \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.05.2007, 10:08

-Styla-

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Nicht wirklich, weil es nur eine andere Schreibweise ist. Also wenns geht, einmal den Rechenschritt aufschreiben, weil ich es schon versucht habe und ein anderes Ergebnis bekomme. Habs sogar auf verschiedene Arten probiert.

17.05.2007, 10:15

tigerbine

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Ohne Nachweis, dass Du es gerechnet hast, gilt hier meist nicht "im Zweifel für den angeklagten". Aufrufe nach Komplettlösungen werden selten erhöht. Also schreib doch einfach einen deiner Lösungswege rein, dann wird dir jemand bei der Fehlersuche helfen. Augenzwinkern

17.05.2007, 10:23

-Style-

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17.05.2007, 10:26

Tjamke

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Zitat:

Original von -Style-
$\begin{eqnarray*} \sigma_x = \gamma*((\gamma*(\sigma_z+\sigma_x))+\sigma_z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \equiv\sigma_x = \gamma^2*\sigma_x+2\gamma^2\sigma_z \end{eqnarray*}$

immer mit der innersten Klammer anfangen aufzulösen!

17.05.2007, 10:33

-Styla-

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Sorry, falsch abgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \equiv\sigma_x =\frac{\gamma^2+\gamma}{(1-\gamma^2)}\sigma_z \end{eqnarray*}$

Doch auch dies entspricht nicht:

$\begin{eqnarray*} \sigma_x=\sigma_y=\frac{\gamma}{1-\gamma}*\sigma_z \end{eqnarray*}$

17.05.2007, 10:38

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \sigma_x - \gamma*(\sigma_y+\sigma_z)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_y - \gamma*(\sigma_z+\sigma_x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_x - \gamma\cdot \sigma_y = \gamma \cdot\sigma_z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\gamma \cdot \sigma_x+\sigma_y = \gamma \cdot \sigma_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&-\gamma \\ -\gamma & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sigma_x \\ \sigma_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \cdot\sigma_z \\ \gamma \cdot\sigma_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Löst denn deine "Musterlösung" dieses LGS?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&-\gamma \\ -\gamma & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\gamma}{1-\gamma}*\sigma_z \\ \frac{\gamma}{1-\gamma}*\sigma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \cdot\sigma_z \\ \gamma \cdot\sigma_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja, das tut sie. Also musst Du dich verrechnet haben. Löse das LGS...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&-\gamma \\ -1 & \frac{1}{\gamma} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sigma_x \\ \sigma_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \cdot\sigma_z \\ \sigma_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&-\gamma \\ 0 & \frac{1-y^2}{\gamma} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sigma_x \\ \sigma_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \cdot\sigma_z \\ (1+\gamma) \cdot \sigma_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun mal mit Rückwärtssubstitution lösen...

$\begin{eqnarray*} \sigma_y=\frac{(1+\gamma)\cdot \gamma}{1-\gamma^2}\cdot \sigma_z \end{eqnarray*}$

Binomische Formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} \sigma_y=\frac{\gamma}{1-\gamma}\cdot \sigma_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_x=... \end{eqnarray*}$

17.05.2007, 10:43

tigerbine

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Zitat:

Original von -Styla-
Sorry, falsch abgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \equiv\sigma_x =\frac{\gamma^2+\gamma}{(1-\gamma^2)}\sigma_z \end{eqnarray*}$

Doch auch dies entspricht nicht:

$\begin{eqnarray*} \sigma_x=\sigma_y=\frac{\gamma}{1-\gamma}*\sigma_z \end{eqnarray*}$

Doch

$\begin{eqnarray*} \equiv\sigma_x =\frac{\gamma^2+\gamma}{(1-\gamma^2)}\sigma_z = \frac{\gamma(1+\gamma)}{(1-\gamma)(1+\gamma)}\sigma_z \end{eqnarray*}$

17.05.2007, 11:00

-Styla-

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Wie blöde...

Hab grad deinen vorletzten Beitrag gelesen und da viel mir auf, dass ich die bin. Formel anwenden kann. Habs getan und es geht auf Hammer

Kamst mir aber zuvor!

Lustiger Schlamasel smile

Ganz, ganz lieben Dank für die schnelle Hilfe!

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