Unterräume

11.01.2005, 22:05

Gast

Unterräume

Hey,
Ich hab hier mal diese Frage zu Unterräume:
Wenn $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ vier-dimensionale Unterräume von $\begin{eqnarray*} K^6 \end{eqnarray*}$ .
Welche Möglichkeiten gibt es dann für dim( $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ geschnitten $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ )?
Kann mir da vielleicht jemand Beispiele zu geben?!
Danke schön!

11.01.2005, 22:26

JochenX

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überlege es dir anhand jeweiliger basen.....
du hast eine basis von K^6 (6 basisvektoren).... deine unterräume U1, U2 haben dann jeweils 4 davon als basisvektoren..... d.h. sie haben mindestens 2 gemeinsam, aber höchstens 4.
damit kannst U1 geschn. U2 ein 4 dimensionaler unterraum von K^6 sein, aber auch nur ein 2-dim. genauso geht auch ein dreidimensionaler.

mehr kannst du nicht aussagen, ohne genauere angaben.

wenn du noch konkretere fragen hast, so stelle diese auch konkreter!

mfg jochen

edit:

Zitat:

Kann mir da vielleicht jemand Beispiele zu geben?!

seien e1,....,e6 die standardbasisvektoren des R^6

R^6=<e1,....,e6>
U1=<e1,e2,e3,e4>
U2=<e1,e2,e4,e6>
U1 geschnitten U2 = <e1,e2,e4>; dim (U1 geschn. U2) = 3

12.01.2005, 21:10

Gast

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schönen dank, jetzt habe ich das problem verstabden und glaube, dass ich zum richtigen ergebnis gekommen bin.
danke

12.01.2005, 22:14

Gast

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hallo nochmal. ich habe jetzt raus gehabt, dass der schnitt nur dimension 2, 3 und 4 haben kann. Dann habe ich aber nocheinmal in meinen vorlesungsunterlagen geblättert und bin auf diese folgerung gestossen:
dim $\begin{eqnarray*} U_1 geschnitten dim U_2 = dim U_1 + dim U_2 - dim ( U_1+ U_2) \end{eqnarray*}$ ist.
Ich komme mit dem term in der klammer nicht so ganz klar. mir ist nämlich nicht so ganz klar, was passiert, wenn ich die unterräume addiere
Wäre toll, wenn mir das jemand kurz erklären könnte.

12.01.2005, 22:54

Tschabba

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Hi!
In deinen Vorlesungsunterlagen müsstest du auch irgendwo die Definition der Addition von Unterräumen haben $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=\{u_1+u_2|u_1\in U_1, u_2\in U_2\} \end{eqnarray*}$ haben. Damit müsstest du dann bekommen, dass $\begin{eqnarray*} 4\leq \dim{(U_1+U_2)} \leq 6 \end{eqnarray*}$ gilt, was zu dem gleichen Ergebnis für $\begin{eqnarray*} \dim{(U_1\cap U_2)} \end{eqnarray*}$ führt.
Timo

13.01.2005, 01:59

JochenX

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und bitte beachten:
du schreibst von " dim U1 geschnitten dim U2", wie schneidest du dimensionen?
du meinst sicher dim (U1 gesch. U2)....

die ursprüngliche dimensionsformel wird meistens so angegeben:
dim (U+V) = dim U + dim V - dim (U gesch. V) aus der du deine form schnell herleiten kannst.

rest ist eigentlich bereits gesagt.

mfg jochen

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