Schnittgerade zweier Ebenen

11.01.2005, 22:24

floh

Schnittgerade zweier Ebenen

Gegeben sind zwei Ebenen

$\begin{eqnarray*} (E_1): x + 2y + 3z =6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E_2): 3x + 2y + z = 6 \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Bestimmen Sie eine Gleichung ihrer Schnittgeraden in Parameterform.

Rechnung:

$\begin{eqnarray*} (E_2)-(E_1): 2x - 2z = 0 \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} x = z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3(E_1) - (E_2): 4y + 8z = 12 \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} y = 3 - 2z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Denn in der Lösung steht:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Richtungsvektor stimmt jedenfalls, aber was ist mit dem Ortsvektor? Ist es egal?

12.01.2005, 03:41

N8schichtler

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von floh
Der Richtungsvektor stimmt jedenfalls, aber was ist mit dem Ortsvektor? Ist es egal?

Nein, egal ist er nicht. Es reicht jedoch, wenn er auf irgend einen Punkt der Gerade zeigt und darum ist deine Lösung ok.

Um es zu verdeutlichen:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (z-1) \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + z' \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten: deine beiden Ortsvektoren und der Richtungsvektor sind linear abhängig.

ALLERDINGS solltest du als Parameter nicht z verwenden, weil du damit schon eine Koordinate bezeichnet hast. Aber ob du ihn nun t oder Otto nennst, ist egal.

Sogar den Richtungsvektor könntest du noch verändern. Du weißt, dass ein Vektor 2 Eigenschaften hat: die Länge und die Richtung. Die Länge spielt hier aber gar keine Rolle. Sogar mit -1 kannst du deinen Richtungsvektor multiplizieren - die Gerade bleibt immer noch die selbe.

12.01.2005, 15:06

floh

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
Danke.

12.01.2005, 15:18

N8schichtler

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
Bitte schön (finde es ja nett, dass sich manche Leute sogar noch bedanken, da hilft man gerne wieder).

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