Maßzahlen von Zufallsgrößen

12.01.2005, 13:18	burner	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßzahlen von Zufallsgrößen Wer kann mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen? oDre besser gesagt wer kann mir einen Tipp für den Ansatz geben. Zeigen sie, dass es stets mindestens einen wert einer zufallsgröße X geben muss, der nicht näher am erwarungswert M liegt als in der entfernung Sigma( standartabweichung) und mindestens einen, der nicht weiter liegt, Sigma also den Charakter eines mittleren wertes hat.
12.01.2005, 13:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maßzahlen von Zufallsgrößen "einen wert einer zufallsgröße X geben muss" ist mathematisch unsauber formuliert - bei stetigen Zufallsgrößen X gilt z.B. für jeden reellen Wert r die Beziehung P(X=r)=0. Ich weiß natürlich, was du meinst - die mathematische Entsprechung deines Satzes ist: Für eine Zufallsgröße X zweiter Ordnung (d.h. Erwartungswert und Streuung existieren) gilt $\begin{eqnarray} P\left(\|X-\mu\|\geq\sigma\right)>0\qquad\mathrm{und}\qquad P\left(\|X-\mu\|\leq\sigma\right)>0 \end{eqnarray}$ . Dabei sind $\begin{eqnarray} \mu=\mathbb{E}~X \end{eqnarray}$ der Erwartungswert und $\begin{eqnarray} \sigma^2=\mathrm{var}~X \end{eqnarray}$ die Streuung der Zufallsgröße X. Über masstheoretischen Integralabschätzungen der Varianzdarstellung sollten beide Beweise möglich sein.
12.01.2005, 14:45	burner	Auf diesen Beitrag antworten »
wie würd eman da jetzt weiterrechnen? thanks erstmal. die formel verstehe ich aber wie man weiterrechnet halt nicht.
12.01.2005, 16:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \sigma^2=\mathrm{var} X=\mathbb{E}(X-\mu)^2=\mathbb{E}\|X-\mu\|^2 \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} 0=\mathbb{E}\left[\|X-\mu\|^2-\sigma^2\right] \end{eqnarray}$ Ich beweise jetzt mal die erste Beziehung (ist aber nur mit Maßtheorie-Kenntnissen richtig zu verstehen): Es gilt (Aufteilung des Integrationsbereichs) $\begin{eqnarray} 0=\mathbb{E}\left[ \|X-\mu\|^2-\sigma^2\right]=\int\limits_{\|X-\mu\|>\sigma} \left[\|X-\mu\|^2-\sigma^2\right]~dP+\int\limits_{\|X-\mu\|\leq\sigma}\left[\|X-\mu\|^2-\sigma^2\right]~dP \end{eqnarray}$ 1.Fall) Ist $\begin{eqnarray} P\left(\|X-\mu\|>\sigma\right)>0 \end{eqnarray}$ , so gilt die zu beweisende Beziehung offensichtlich. 2.Fall) Hier ist $\begin{eqnarray} P\left(\|X-\mu\|>\sigma\right)=0 \end{eqnarray}$ , somit wird der erste Integralausdruck rechts gleich Null. Nach Vorzeichenwechsel der gesamten Gleichung folgt $\begin{eqnarray} 0=\int\limits_{\|X-\mu\|\leq\sigma}\left[\sigma^2-\|X-\mu\|^2\right]~dP=\mathbb{E}\left(\left[\sigma^2-\|X-\mu\|^2\right]\cdot 1_{\|X-\mu\|\leq\sigma}\right) \end{eqnarray}$ Eine nichtnegative Zufallsgröße, deren Erwartungswert Null ist, ist aber selbst P-fast sicher identisch Null (Hilfssatz, kann man leicht beweisen). Daher ist $\begin{eqnarray} \left[\sigma^2-\|X-\mu\|^2\right]\cdot 1_{\|X-\mu\|\leq\sigma}=0\qquad P-\mathrm{fast sicher} \end{eqnarray}$ zusammen mit der Fallbedingung $\begin{eqnarray} P\left(\|X-\mu\|>\sigma\right)=0 \end{eqnarray}$ kann man daraus unmittelbar auf $\begin{eqnarray} P\left(\|X-\mu\|=\sigma\right)=1 \end{eqnarray}$ schließen, also ist auch hier die Behauptung richtig. --------------------------------------- Beim Beweis von $\begin{eqnarray} P\left(\|X-\mu\|\leq\sigma\right)>0 \end{eqnarray}$ kann man völlig analog vorgehen - lohnt nicht mal das Aufschreiben.
12.01.2005, 21:42	burner	Auf diesen Beitrag antworten »
ok thanks das dauert bis ich das vertehe trotzdem danke

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