lineare Abbildung und Basen |
| 12.01.2005, 17:55 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| lineare Abbildung und Basen also folgendes ist die Aufgabe: Sei V: V -> W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: a) f ist injektiv b) Ist (v1,...,vr) ein linear unabhängiges Vektorensystem in V, so ist (f(v1),...,f(vr)) linear unabhängig c)Für jede Basis B=(vi)i€I von V (I eine beliebige Indexmenge) ist die Familie (f(vi))i€I eine Basis von Im(f) = f(V) C W Ich versuche dies mit einem Ringbeweis zu lösen, und habe bisher folgendes: - a) => b) : (f(v1),...,f(vr)) ist linear unabhängig heisst: a1*f(v1)+...+ar*f(vr) =(Nullvektor) hat nur die triviale Lösung. Beweis durch Widerspruch: Annahme: (f(v1),...,f(vr)) ist nicht linear unabhängig Dann gilt: a1*f(v1)+...+ar*f(vr)=(Nullvektor) hat eine Lösung in dem mind. ein ak ungleich 0 ist. Also: Nullvektor=a1*f(v1)+...+ar*f(vr)=f(a1*v1+...+ar*vr)=f(u) mit u=a1*v1+...+ar*vr, u ist ungleich 0 da (v1,...,vr) linear unabhängig ist nach b) und mind. ein ak ungleich 0 ist. Also: Nullvektor=f(0)=f(u) => Widerspruch zur Injektivität. Also: a) => b) -b) => c) Wir wissen dass eine Basis B=(vi)i€I linear unabhängig ist. Aus b) folgt dass auch dann die Familie (f(vi))i€I linear unabhängig ist. Da (f(vi))i€I das Bild Im(f) erzeugt und linear unabhängig ist, ist (f(vi))i€I eine Basis von Im(f). Also b) => c). ------------------------------------------------------------------------------ Das sind die Beweise die ich schon habe, wollte nachfragen ob das so stimmt und ob jemand mir eine Idee für den beweis c) => a) liefern kann. Hoffe jemand kann mir helfen, mfg gecko |
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| 13.01.2005, 13:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineare Abbildung und Basen Fall a ==> b: dein Beweis ist richtig, kann aber auch ohne Widerspruchsschleife bewiesen werden: sei a1*f(v1)+...+ar*f(vr) =(Nullvektor) dann ist also: f(a1*v1 + ... + ar*vr) = 0 = f(0) wegen f injektiv ist also: a1*v1 + ... + ar*vr = 0 da (v1,...,vr) linear unabhängig sind, folgt a1 = ... = ar = 0, q.e.d. Fall b ==> c: dass die Familie (f(vi)) linear unabhängig ist, ist Teil der Voraussetzung. Jetzt muß gezeigt werden, dass die Familie (f(vi)) den Unterraum Im(f) erzeugt. Da hat mich dein Beweis nicht ganz überzeugt. Im Grunde zerfällt das in zwei Teile: 1. span(f(vi)) ist Teilmenge von Im(f). Das ist klar. 2. Im(f) ist Teilmenge von span(f(vi)) sei w aus Im(f), es gibt also ein v aus V mit f(v) = w da die Familie (vi) eine Basis von V ist, gilt: v = a1*v1 + ... + ar*vr Also ist w = f(v) = a1*f(v1)+...+ar*f(vr) und damit Element von span(f(vi)) Fall c ==> a: sei v aus V mit f(v) = 0. Zeige nun, dass v = 0, also Kern(f) = 0 ist. |
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| 13.01.2005, 20:05 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| geändert Vielen Dank für die Hilfe, habe jedoch den Beweis b)=> c) noch ein bisschen anders versucht, und auch c) => a), kannst du mir vielleicht nochmal sagen ob es auch so funktioniert: b)=> c) Sei w € Im(f) => w=f(v) für ein v€V mit v=a1*v1+...+ar*vr mit (vi)i€I € B, da B eine Basis von V ist. Da f linear ist, gilt: w=a1*f(v1)+...+ar*f(vr) . D.h. jeder Vektor w€Im(f) ist als Linearkombination von Vektoren (f(vi))i€I darstellbar. Nach Vorraussetzung b) ist auch (f(vi))i€II linear unabhängig und damit eine Basis von Im(f)=f(V) c W Also gilt: b) => c) c) => a) z.Z. fi ist injektiv <=> bei linearen Abbildungen: f(v)=0 gilt nur für v=0 Sei v€V mit f(v)=0. v= a1*v1+...+ar*vr mit Basisvektoren von V 0= f(v)=a1*f(v1)+...+ar*f(vr). Da die (f(vi))i€I nach Voraussetzung c) Teilmenge einer Basis sind, sind sie linear unabhängig. Dann ist 0=a1*f(v1)+...+ar*f(vr) nur möglich für a1=a2=...=ar=0 => v=a1*v1+...+ar*vr=0 => f ist injektiv Also gilt: c) => a) Hoffe ihr könnt mir wiedermal helfen! mfg gecko |
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| 14.01.2005, 09:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: geändert
Beweis c ==> a ist richtig. Aber wenn ich es richtig sehe, sind die (f(vi))i€I nicht Teilmenge einer Basis, sondern die Basis selbst. Beweis b ==> c ist im Grunde das, was ich schon geschrieben habe. |
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| 14.01.2005, 09:30 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für eure Hilfe, habe mich vertippt bei Teilmenge der Basis,... mfg gecko |
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