Binomialkoeffizient

17.05.2007, 13:41	matheniete226	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient Hallo ich soll folgende Gleichung nach k auflösen: $\begin{eqnarray} 5\cdot \begin{pmatrix} k \\ 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} k+2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Soweit bin ich schon gekommen, weiß dann aber nicht wie ich weiter machen soll: $\begin{eqnarray} 5\cdot \frac{k!}{3!(k-3)!} =\frac{(k+2)!}{4!((k+2)-4)!} \end{eqnarray}$
17.05.2007, 22:45	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient Na, $\begin{eqnarray} ((k+2)-4) \end{eqnarray}$ hättest du schon noch selbst zusammenfassen können. Kürze einfach alles, was zu kürzen geht. Dabei hilft dir vielleicht weiter, z.B. $\begin{eqnarray} (k-3)! \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-3) \end{eqnarray}$ zu schreiben. Zum Schluss bleibt eine quadratische Gleichung übrig (p-q-Formel).
17.05.2007, 22:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dumm nur, dass diese Gleichung vier statt nur zwei Lösungen hat. Selbstverständlich bei Anwendung der allgemeinen Definition des Binomialkoeffizienten.
18.05.2007, 13:46	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Arthur, für den Link. Wenn ich alles richtig verstanden habe, sind mir die Lösungen $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ verloren gegangen. Und nach der allg. Definition gäbe es auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} = 0~\forall k \end{eqnarray}$ . Seh ich das so richtig?
18.05.2007, 15:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Die erweiterte Defintion ist übrigens nicht nur in der Analysis, sondern auch der "reinen" Kombinatorik zweckmäßig - man denke nur an die hypergeometrische Verteilung $\begin{eqnarray} P(X=k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\qquad () \end{eqnarray}$ Nach reiner Fakultätsdefinition bricht man sich ganz schön einen ab, den Index $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ so einzugrenzen, dass ja alle Binomialkoeffizienten sauber definiert bleiben: $\begin{eqnarray} \max\{0,n+M-N\} \leq k \leq \min\{n,M\} \end{eqnarray}$ Mit der allgemeineren Definition kann man das deutlich entspannter sehen und alle ganzzahligen $\begin{eqnarray} k=0,1,\ldots, n \end{eqnarray}$ zulassen. Den Werten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , die als Zufallsgrößenwerte nicht vorkommen können, wird gemäß der erweiterten Definition des Binomialkoeffizienten in Formel () ganz automatisch die Wahrscheinlichkeit Null zugewiesen.
19.05.2007, 23:40	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Vielen Dank! Christian
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