Extremwertaufgabe (Zaun mit Mauer)

17.05.2007, 17:13	Moon	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe (Zaun mit Mauer) Hallo Ich hätt da mal wieder ein Problem.. Es soll eine rechteckige Weide mit einem 100m langen Zaun gebaut werden. Als weitere Abgrenzung gibt es eine Mauer, die 40m lang ist. Wie groß ist die größtmögliche Fläche? Der Umfang von allem muss also 140m sein. Ein Viereck als Quadrat mit größtmöglichem Flächeninhalt kommt nicht in Frage, weil die eine Seite sonst ja nicht mehr 40 m lang wäre, sprich, die Mauer wäre weg ;P Irgendwie komme ich auch sonst auf keine vernünftige Zielfunktion.. Extremalbedingung ist wohl A = a * b Nebenbedingung müsste sich irgendwie aus U = 2(a + b) ergeben aber mehr fällt mir dazu leider nicht ein.. Hat jemand einen Tipp? Gruß Moon
17.05.2007, 17:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe (Zaun mit Mauer) So etwa in der Art? Blumenbeete
17.05.2007, 19:24	Moon	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, ich glaub leider nicht, weil bei dem Beet ist es ja eine beliebig lange Wand, bei meiner Aufgabe ist die nur 40m lang.. Trotzdem danke
17.05.2007, 22:40	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn die wand 40 m lang is und die weide rechteckig is dann mussja die gegenüberliegende seite auch 40 m sein, bei einer Zaunlänge von 100m bleiben dann für die restlichen Seiten 60m also is b = 30m => A = a*b = 1200 qm
17.05.2007, 22:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll eine rechteckige Weide mit einem 100m langen Zaun gebaut werden. Als weitere Abgrenzung gibt es eine Mauer, die 40m lang ist. Wie groß ist die größtmögliche Fläche? Man muss nicht die komplette Mauer nehmen, kann es aber... Sei a die "Mauerseite". Dann gilt: $\begin{eqnarray} 0 < a \leq 40 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 30 \leq b < 50 \end{eqnarray}$ Man stellt eine Beziehung zwischen a und b über die Zaunlänge auf: $\begin{eqnarray} 100 = a + 2b \Rightarrow a = 100 - 2b \end{eqnarray}$ Nun schaut man sich den Flächeninhalt an: $\begin{eqnarray} A(b)=(100-2b)\cdot b = -2b^2+100b \end{eqnarray}$ Wo hat diese Funktion ihr lokales Maximum (Definitionsbereich beachten)?
18.05.2007, 18:54	Moon	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt logisch.. Wär ich vermutlich nie selbst draufgekommen, aber den Rechenweg versteh ich schonmal Also mit der ersten Ableitung ergibt sich, dass b = 25 ist. Deswegen müsste a = 50 sein. Aber da das zusammen dann nicht mehr 140 ergibt, muss man die Randwerte nehmen. Irgendwo hat guest dann was das Ergebnis angeht doch recht, weil der Randwert von a = 40 und b = 30 Danke
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