lineares Gleichungssystem (Matrix)

17.05.2007, 17:46

meli05

lineares Gleichungssystem (Matrix)

Huhu,

folgende Aufgabe habe ich hier vor mir:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

nun soll ich alle lösungen des linearen gleichungssystem lösen.

ich habe diesem ausdruck leider so noch nie gesehn und weiß jetzt einfach überhaupt nicht wie ich da rangehen muss? wie muss ich denn daraus gleichungen machen? einfach mulitplizeren? verwirrt

lg
meli

17.05.2007, 17:57

tigerbine

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RE: lineares Gleichungssystem (Matrix)
Da fehlt doch schon mal ein Gleichheitszeichen, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Lösung in Abhängigkeit von a mit dem Gaussalgorithmus bestimmen.

17.05.2007, 19:11

meli05

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ah also sprich für die erste zeile z.b.

1+a+0+0 = 1 -> a=0 => x1 = 1
usw.

?!

als tipp stand folgender text dran:

Beachten Sie beim Lösen des linearen Gleichungssystems, dass u. U. Fallunterscheidungen nötig sind. Wird z.B. eine Gleichung mit a durchmultipliziert, so ist dies nur für a ≠ 0 eine Äquivalenzumformung; für den Fall a = 0 muss das lineare Gleichungssystem dann separat gelöst werden.

verstehe ich leider nicht :-( was ist gemeint mit a durchmultiplizieren? Äquivalenzumformung?!

17.05.2007, 19:16

tigerbine

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Ich verstehe nicht, warum aus der ersten Zeile a=0 folgen sollte...

Wie geht denn der Gaußalgorithmus? Das man beim rechen mit a unterscheiden muss, ob a von 0 verschieden ist sollte dann auch klar sein (darf man durch 0 teilen?).

mach doch erstmal den Fall a=0.

17.05.2007, 19:25

meli05

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ups jetz form ich mal alles um:

$\begin{eqnarray*} x_1+ax_2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_1+x_2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+ax_2+x_3+ax_4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1-x_2+ax_3-4x_4=1 \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

17.05.2007, 19:28

tigerbine

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Warum rechnest Du nicht mit der Matrix? Die Frage ob du Gaussalgorithmus kennst und/oder kannst hast Du auch noch nicht beantwortet...

17.05.2007, 19:40

meli05

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ja doch kenn ich, ist doch das, um mehrere gleichungen mit mehreren variablen zu lösen!?

ich wei´nicht wie ich das schreiben kann, ein strich durch die matrix..?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

so und nun, soll ich jetzt x1,x2,x3,x4 in abhängigkeit von a ausrechnen?

17.05.2007, 19:44

tigerbine

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Deine Beschreibungen klingen wie die Kassengespräche von den zwein im Supermarkt (Badesalz)... Des was ich mein, Du sollt zunächst mal a=0 betrachten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jippie, eine untere Dreiecksmatrix, die sogar regulär ist(warum?). Also eine eindeutige Lösung besitzt. Diese kann man durch Vorwärtssubstitution ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

etc.

17.05.2007, 19:55

meli05

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eine eindeutige lösung gibts ja dann, wenn die determinante von 0 verschieden ist?! oder?

vorwärtssubstitution? wie geht das?

so ok nun weiß ich also, dass bei a=0 alle x =1 sind und soll ich jetzt für a weiter beliebige zahlen einsetzen oder was hat mir das nun gebracht=?

sorry für meine ausdrucksweise :-P Big Laugh

lg
meli

17.05.2007, 19:58

tigerbine

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Wenn Du Begriffe nicht kennst, Boardsuche oder google mal ausprobieren. Augenzwinkern

Determinante ungleich 0 ist richtig Freude

Deine Lösung des LGS leider nicht unglücklich

17.05.2007, 20:07

meli05

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ja wie kann ich denn das lösen ? unglücklich

ich komm da auf keinen gr+ünen zweig wenn da dieses a dabei is...

soll ich jetzt einfach mal versuchen die determinante auszurechnen in abhängigkeit von a eben? unglücklich

oder was muss ich tun?

danke für die hilfe

lg
meli

17.05.2007, 20:15

tigerbine

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Was ist zu tun? Dies mal lesen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

VS:

$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=1-x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4=1-x_1+x_2=1 \end{eqnarray*}$

Für den Fall a ungeich 0 musst Du die Matrix eben erstmal auf Dreiecksgestalt bringen.

17.05.2007, 20:37

meli05

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soll ich jetzt z.b. 1 einsetzen und die matrix auf dreiecksform bringen, oder a drinne lassen und die matrix in dreiecksform bringen ?

ist es richtig, dass ich eine eindeutige lösung bekomme ich nur bei a=0

lg meli

17.05.2007, 20:40

tigerbine

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Warum soll es nur bei a=0 eindeutig sein? verwirrt

Was veranlasst Dich zu dieser Schlussfolgerung? Und natürlich sollst du mit a rechnen... Wenn Du es für jedes a aus IR einzeln machen willst....Des könnt e weng länger dauern Big Laugh

17.05.2007, 21:04

meli05

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeile 1 * -1 + Z3 und Z4
Zeile 1 * -a + Z2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & -a^2+1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & -1-a & a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetz komme ich nicht mehr weiter unglücklich

kommst du auch aus dem schwabenland? Big Laugh

lg
meli

17.05.2007, 21:14

tigerbine

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Nö, koi Schwabe Big Laugh

LGS muss komplett dastehen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{a} & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{a} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a}-a & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & -1-a & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{a}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

17.05.2007, 21:31

meli05

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schade

wie bekommst du das a in der 2. zeile weg ? (dein 1. schritt) verwirrt

17.05.2007, 21:33

tigerbine

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Geteilt durch a

17.05.2007, 21:55

meli05

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oh stimmt !

Ich komm einfach nicht drauf wie ich das -1-a in der letzten zeile wegbekommen soll unglücklich

17.05.2007, 21:58

tigerbine

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18.05.2007, 02:45

WebFritzi

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Es wäre hier vielleicht einfacher gewesen, die Matrix zu einer unteren statt zu einer oberen Dreiecksmatrix zu machen... Augenzwinkern

22.05.2007, 12:21

meli05

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a}(1+a)(1-a) & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & -(1+a) & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{a}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ [/quote]

kann ich jetzt die vierte Zeile mit $\begin{eqnarray*} 1/a(1+a) \end{eqnarray*}$ multiplizieren und dann die 2 Zeile zur vierten addieren?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a}(1+a)(1-a) & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & a\cdot(1/a(1+a) & 1/a(1+a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{a}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ [/quote]

und jetzt die dritte zeile mit $\begin{eqnarray*} a\cdot(1/a(1+a) \end{eqnarray*}$ multiplizieren und die 4 zeile addieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a}(1+a)(1-a) & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1/a(1+a) +a^2(1/a(1+a)) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{a}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ [/quote]

nee oder verwirrt

lg
meli

@web fritzi habs grad mal versucht nach der unteren dreiecksform aber is doch auch nicht besser ?! unglücklich

26.05.2007, 16:03

meli05

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*vorm untergehen rettet*

07.06.2007, 23:16

meli05

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kann hier nochmal jemand reinschaun *liebguck* Wink

08.06.2007, 17:10

tigerbine

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Hallo Meli,

vielleicht schaffe ich es heute Abend einen Blick drauf zu werfen. smile

10.06.2007, 00:52

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a}-a & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & -1-a & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{a}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1-a^2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & -(1+a) & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1-a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1-a^2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & -(1+a)(1-a) & a(1+a) & 1+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1-a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1-a^2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & -(1-a^2) & a(1+a) & 1+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1-a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1-a^2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & a(1+a) & 2+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1-a \\ 0 \\ 1-a \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1-a^2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & a(1+a) & a^2(1+a) \\ 0 & 0 & a(1+a) & 2+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1-a \\ 0 \\ 1-a \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1-a^2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & a(1+a) & a^2(1+a) \\ 0 & 0 & 0 & 2+a-a^2(1+a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1-a \\ 0 \\ 1-a \end{pmatrix},~a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

12.06.2007, 14:36

meli05

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ah super DANKE! hatte die hoffnung schon aufgegeben. smile

was ist nun zu tun? ich kann ja jetz nach x4, x2, etc. auflösen und dann schauen wie die llösungen von a abhängen oder?

12.06.2007, 17:30

tigerbine

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Das LGS ist jetzt mit Rückwärtssubstitution zu lösen. Die x-WErte hängen von a ab.

14.06.2007, 10:54

meli05

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okay also so:

$\begin{eqnarray*} (2+a-a^2(1+a))x_4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =1-a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2+a-a^2-a^3)x_4=1-a \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x_4=\frac{1-a}{(2+a-a^2-a^3)} \end{eqnarray*}$

einsetzen in Zeile 3:

$\begin{eqnarray*} (a(1+a))x_3+a^2(1+a)\cdot \frac{1-a}{(2+a-a^2-a^3)}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+a^2)x_3+(a^2+a^3)\cdot \frac{1-a}{(2+a-a^2-a^3)} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+a^2)x_3+\frac{a^2-a^4}{(2+a-a^2-a^3)} =0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_3=-\frac{a^2-a^4}{(2+a-a^2-a^3)\cdot(a+a^2)} \end{eqnarray*}$

stimmt das bisher ? kann ich da noch was vereinfachen? mir kommt das alles so spanisch vor traurig

sonnige Grüße,
meli

14.06.2007, 13:00

tigerbine

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Setz doch für a mal werte ien und prüfe es dann. Da die Matrix in a bh. von A dasteht, müssen keine "einfachen" Terme rauskommen.

14.06.2007, 17:25

meli05

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wie meinst du prüfen?!

14.06.2007, 17:54

tigerbine

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In dem du mal einen bestimmten Wert für a nimmst. Sollte die Lösung nicht stimmen, weißt du schon mal dass deine Rechnung falsch ist (Umkehrung gilt natürlich nicht).

15.06.2007, 01:39

outSchool

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LGS oder Determinanten
Hallo,
wie ich dem Thread entnehme, stösst das Lösen des LGS mit Gauß auf Probleme. Die angegebenen Lösungen stimmen nicht. Hier mein Vorschlag. Bei der Lösung des LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bietet sich die Cramersche Regel an, d. h.:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{det B_1}{det A}; \hspace{5mm} x_2 = \frac{det B_2}{det A}; \hspace{5mm} x_3 = \frac{det B_3}{det A}; \hspace{5mm} x_4 = \frac{det B_4}{det A}; \hspace{5mm} \end{eqnarray*}$

Da in der 1. Zeile der Koeffizienten-Matrix zweimal die 0 steht, halbiert sich der Rechenaufwand für det A.

$\begin{eqnarray*} det A = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & a & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ a & 1 & a \\ -1 & a & 1 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} a & 0 & a \\ 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} = a^4-a^2+a+1 \end{eqnarray*}$

Exemplarisch sei hier nochmal die Berechnung von $\begin{eqnarray*} det B_3 \end{eqnarray*}$ gezeigt:

$\begin{eqnarray*} det B_3 = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 & 0 \\ a & 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & -a \\ a & 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-a)\cdot \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = a^3 - a \end{eqnarray*}$

Dabei wurde die 3. Zeile von der 1. Zeile subtrahiert. Die Berechnung von $\begin{eqnarray*} det B_4 \end{eqnarray*}$ lässt sich auch durch Subtraktion vereinfachen. Die Ergebnisse lauten wie folgt:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{a^3 + 1}{a^4 - a^2 + a +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - a^2 + a +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = \frac{a^3 - a}{a^4 - a^2 + a +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = \frac{1 - a^2}{a^4 - a^2 + a +1} \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen der Lösungen in das LGS sieht man auch, dass diese richtig sind.
Jetzt müssen noch die Nullstellen des Nenners bestimmt werden, durch Probieren findet man eine Nullstelle für a = -1, die zweite dann durch Polynomdivision usw.

@tigerbine
Bereitest Du Deinen Umzug ins Schwäbische vor oder wo bist Du?

15.06.2007, 01:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von wikipedia
Nimmt man die von Cramer verwendeten Polynome der Leibniz-Formel, so muss man für jede Determinante (n-1) \cdot n! Multiplikationen und n − 1 Additionen durchführen. Schon bei einem System aus vier Gleichungen sind 360 Multiplikationen, vier Divisionen und 15 Additionen notwendig. Im Vergleich zu anderen Verfahren sind dies sehr viele Operationen. Auch unter Verwendung effektiver Algorithmen zur Determinantenberechnung ist der Rechenaufwand für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Cramer’schen Regel wesentlich höher als beispielsweise beim Gaußschen Eliminationsverfahren.

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