Basisergänzung

17.05.2007, 23:23	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisergänzung Hallo Ich möchte gerne die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu einer Basis des R^4 ergänzen und bin dabei vorgegangen wie hier beschrieben: http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Line...n_des_Gau%C3%9F'schen_Algorithmus_(zur_Wiederholung) Meine auf Zeilenstufenform gebrachte Matrix lautet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 4 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich mir dann von den letzten 3 drei Vektoren zwei aussuchen, um die obigen zwei Vektoren zu einer Basis des R^4 zu ergänzen oder verstehe ich das Verfahren unter dem Link falsch ? Gruß Björn
17.05.2007, 23:57	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Bjoern, so wie ich den Algorithmus verstehe, sollst du die Vektoren $\begin{eqnarray} (1,0,0,0), (0,1,0,0) \end{eqnarray}$ (3. bzw. 4 Spalte) zu deinen Ausgangsvektoren hinzufügen. In der Tat bildet dieses System dann eine Basis. Gruß, therisen
18.05.2007, 01:18	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Was macht für dich denn die 3. und 4. Spalte in der auf Zeilenstufenform gebrachten Matrix zur Stufenspalte ? Gruß Björn
18.05.2007, 13:50	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine gute Frage. Den Begriff "Stufenspalte" hatte ich vorher noch nie gehört (scheint eine Eigenheit des Autors zu sein, wie Google bestätigt), aber meine Überlegung ist die Folgende: Ist eine Matrix auf Zeilenstufenform, dann kann man die "Stufen" einzeichnen. Immer dann, wenn man eine Zeile weiter nach unten geht, hat man ja ein sogenanntes Pivotelement. Und ich vermute, dass man diese Spalte dann als Stufenspalte bezeichnet. Gruß, therisen
18.05.2007, 14:59	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das klingt sehr wahrscheinlich, danke. Würdest du auch sagen dass die lineare Hülle der beiden obigen kanonischen Basisvektoren ein Komplement der linearen Hülle von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind ? Oder wie würdest du da vorgehen ? Björn
18.05.2007, 15:04	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit Komplement? Ich kenne in dem Zusammenhang nur den Begriff "Komplementärraum". Ist M ein Unterraum von V, so heißt N Komplementärraum von M, falls $\begin{eqnarray} V = M\oplus N \end{eqnarray}$ gilt. Wenn "das Komplement von M" für euch V\M ist, dann ist die Aussage natürlich falsch.
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18.05.2007, 15:07	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke es ist die direkte Summe gemeint. In diesem Fall stimmt die Aussage.

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