Logarithmen und besonders grosse Zahlen

18.05.2007, 05:13

Prim

Logarithmen und besonders grosse Zahlen

Interessante Aufgabe Augenzwinkern

Die groesste bekannte Primzahl ist $\begin{eqnarray*} 2^{32582657} - 1 \end{eqnarray*}$

Nun sollen die Anzahl Stellen und die vordersten drei Stellen berechnet werden. (zur Kontrolle: Laut Wikipedia hat sie 9'808'358 Stellen)

Bis jetzt habe ich:

$\begin{eqnarray*} x = 2^{32582657} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg{x}=\lg{2^{32582657}} - \lg{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg{x}=32'582'657 * \lg{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg{x}=9'808'357.095 \end{eqnarray*}$

Hier scheint mir also eine Stelle verlorengegangen zu sein? unglücklich

$\begin{eqnarray*} x = 10^{\lg{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 10^{9808357.095} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 10^{9808357} * 10^{0.095} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 10^{9808357} * 1.2445 \end{eqnarray*}$

=> die ersten drei Stellen sind 124?

Danke im Voraus Freude

18.05.2007, 05:39

Prim

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RE: Logarithmen und besonders grosse Zahlen
Oops, was fuer ein peinlicher Fehler... natuerlich hat 10^1 ja zwei Stellen und nicht eine! Jetzt macht die Welt wieder Sinn! LOL Hammer

18.05.2007, 06:40

20_Cent

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RE: Logarithmen und besonders grosse Zahlen

Zitat:

Original von Prim
$\begin{eqnarray*} x = 2^{32582657} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg{x}=\lg{2^{32582657}} - \lg{1} \end{eqnarray*}$

Hier ist schon der Fehler, wenn du rechts den logarithmus anwendest, darfst du ihn nicht auf dei Summanden einzeln anwenden! Die Logarithmengesetze gehen anders.

mfG 20

18.05.2007, 08:24

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Zitat:

Original von 20_Cent

Zitat:

Original von Prim
$\begin{eqnarray*} x = 2^{32582657} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg{x}=\lg{2^{32582657}} - \lg{1} \end{eqnarray*}$

Hier ist schon der Fehler, wenn du rechts den logarithmus anwendest

Zum Glück von Prim ein Fehler, der so gut wie keine Auswirkungen hat: Denn es ist ja $\begin{eqnarray*} \lg(1)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lg(2^{32582657}) \approx \lg(2^{32582657}-1) \end{eqnarray*}$ ; die Stellenzahl beider Zahlen und auch die ersten drei Ziffern sind einander gleich. Augenzwinkern

18.05.2007, 15:57

20_Cent

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Und wie erklärst du dir das ,095 ? Auch ein Fehler von ihm, ein Aufschreibefehler? Könnte es eigentlich 0,95 heißen? Dann wäre das gerundet ja auch ok.
mfG 20

19.05.2007, 01:12

Prim

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Zitat:

Original von 20_Cent
Und wie erklärst du dir das ,095 ? Auch ein Fehler von ihm, ein Aufschreibefehler? Könnte es eigentlich 0,95 heißen? Dann wäre das gerundet ja auch ok.
mfG 20

Wie kommst du auf 0,95? Die Potenz habe ich mit dem Prinzip

$\begin{eqnarray*} 10^{a+b} = 10^a * 10^b \end{eqnarray*}$

geteilt, so dass a eine ganze Zahl ist (und somit die Anzahl Stellen bestimmt), waehrend die zweite Zahl den Rest ausmacht und die ersten Ziffern anzeigt.

19.05.2007, 12:09

20_Cent

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Zitat:

(zur Kontrolle: Laut Wikipedia hat sie 9'808'358 Stellen)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lg{x}=9'808'357.095 \end{eqnarray*}$

Also hier steht 7,095, wenn man das rundet erhält man 7 und nicht 8, wie Wikipedia sagt. Das meinte ich.
Und in deiner Rechnung ist der einzige Fehler der, den ich oben beschrieben habe.

mfG 20

19.05.2007, 12:24

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Wieso denn runden - aufrunden ist angesagt, wenn man die Stellenzahl haben will! Denk mal genau drüber nach.

Oder exakt: $\begin{eqnarray*} \lfloor \lg(x) \rfloor+1 \end{eqnarray*}$ ist die Stellenzahl der Zahl $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

19.05.2007, 19:43

Prim

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Zitat:

Original von 20_Cent
verwirrt

Zitat:

(zur Kontrolle: Laut Wikipedia hat sie 9'808'358 Stellen)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lg{x}=9'808'357.095 \end{eqnarray*}$

Also hier steht 7,095, wenn man das rundet erhält man 7 und nicht 8, wie Wikipedia sagt. Das meinte ich.
Und in deiner Rechnung ist der einzige Fehler der, den ich oben beschrieben habe.

mfG 20

Aber 10^1 hat nicht eine Stelle, sondern 2 - dieser Denkfehler ist mir zuerst auch passiert Augenzwinkern

Also 10^n hat n+1 Stellen

20.05.2007, 03:01

20_Cent

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ok, sorry, stimmt natürlich...

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