Geometrie der komplexen Zahlen

18.05.2007, 13:13	chri	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrie der komplexen Zahlen Und nochmal etwas womit ich einfach nicht zurecht komme. Vielen dank für die Hilfe, grüße Chri Zeigen Sie: Die komplexen Zahlen z1, z2, z3 bilden die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks genau dann, wenn z1^2 + z2^2 + z3^2 = z1z2 + z1z3 + z2z3 gilt.
18.05.2007, 14:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichseitiges Dreieck in der Gaußschen Zahlenebene
19.05.2007, 14:53	chri	Auf diesen Beitrag antworten »
ich lege aber wert auf deine meinung und den "komplizierten weg" versteh ich acuh nicht ganz, kannste mir nicht sagen wie es einfacher gehen würde.... dank dir schonmal
19.05.2007, 16:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe eigentlich ähnlich wie der Helfer im genannten Thread vor, nur in etwas geraffter Form: In der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ist eine Drehung um $\begin{eqnarray} 60^{\circ} \end{eqnarray}$ um den Ursprung im positiven Drehsinn nichts weiter als ein Multiplikation mit $\begin{eqnarray} \lambda := \exp\left( i\cdot \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ , bzw. entsprechend mit $\begin{eqnarray} \bar{\lambda} = \exp\left( -i\cdot \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ in negativer Drehrichtung. D.h., $\begin{eqnarray} z_3 \end{eqnarray}$ ist dritter Eckpunkt des gleichseitigen Dreiecks mit den anderen beiden Ecken $\begin{eqnarray} z_1,z_2 \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} z_3 = z_1 + (z_2-z_1)\lambda \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z_3 = z_1 + (z_2-z_1)\bar{\lambda} \end{eqnarray}$ gilt. Das wiederum ist äquivalent zum Erfülltsein der Gleichung $\begin{eqnarray} [(z_3-z_1) - (z_2-z_1)\lambda] \cdot [(z_3-z_1) - (z_2-z_1)\bar{\lambda}] = 0\qquad () \end{eqnarray}$ . Die linke Seite von () ausmultipliziert und unter Nutzung von $\begin{eqnarray} \lambda+\bar{\lambda} = 1,\lambda\cdot \bar{\lambda} = 1 \end{eqnarray}$ vereinfacht ergibt genau $\begin{eqnarray} z_1^2+z_2^2+z_3^2-(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1) \end{eqnarray}$ .

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