Integralberechnung

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18.05.2007, 17:48	Sonnenschein1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralberechnung Hallo, ich soll folgendes Integral berechnen: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{6x-x^2-8} } ~dx \end{eqnarray}$ Da ich da auf nichts gescheites gekommen bin, habe ich mir das Integral mal im Internet berechnen lassen. Die Lösung lautet: $\begin{eqnarray} -\arcsin(3-x) + C \end{eqnarray}$ Da mir nur die Lösung nichts bringt, hab ich dann versucht das Integral vom Ergebnis aus zu berechnen: Ich glaube, dass die $\begin{eqnarray} -8 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} -9+1 \end{eqnarray}$ aufgeteilt wurden, und dann mit der zweiten binomischen Formel das Integral wie folgt ausgedrückt wurde: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{(x-3)^2+1} } ~dx \end{eqnarray}$ Dann wäre die Lösung laut Formelsammlung aber: $\begin{eqnarray} ln(x-3)+\sqrt {1+(x-3)^2} + C \end{eqnarray}$ Irgendwas hab ich dann falsch gemacht. Da aber der $\begin{eqnarray} Arcsin (3-x) \end{eqnarray}$ in der richtigen Stammfunktion vorkommt, muss doch etwas mit ner binomischen Formel gemacht worden sein... Die Integralschreibweise von $\begin{eqnarray} Arcsin(x) \end{eqnarray}$ ist mir bekannt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } \end{eqnarray}$ . Wie aber dann das $\begin{eqnarray} - \end{eqnarray}$ vor das Arcsin kommt und wieso die auf $\begin{eqnarray} (3-x) \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} (x-3) \end{eqnarray}$ kommen, ist mir nicht klar....
18.05.2007, 18:26	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung $\begin{eqnarray} 6x - x^2 - 8 = 1 - (x - 3)^2. \end{eqnarray}$ Jetzt noch Subsitution mit y := x - 3, und du hast deine "Integralschreibweise von arcsin".
18.05.2007, 19:51	Sonnenschein1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das ist hier ist mir schonmal klar: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{6x-x^2-8}}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-(x-3)^2}}~dx \end{eqnarray}$ Das wäre aber für mich jetzt gleich $\begin{eqnarray} Arcsin (x-3) \end{eqnarray}$ . In der Formelsammlung steht aber $\begin{eqnarray} -Arcsin (3-x) \end{eqnarray}$ Was mache ich noch falsch?
18.05.2007, 23:33	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichts, denn arcsin(-x) = - arcsin(x).
19.05.2007, 11:11	Sonnenschein1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke, ich wusste nicht, das man ein (-1) aus dem Arcsin rausziehen kann...
19.05.2007, 11:25	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Man nennt solche Funktionen ungerade oder punktsymmetrisch, denn wenn du den Graphen der Funktion um 180 Grad um den Ursprung drehst, kommt wieder derselbe Graph dabei raus.
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20.05.2007, 20:30	Sonnenschein1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmhh, eigentlich hatte ich die Aufgabe ja jetzt verstanden... Nur mir fällt gerade auf, dass ja gilt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2+6x-9}}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-(x-3)^2}}~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-(3-x)^2}}~dx \end{eqnarray}$ Das Integral des letzten Terms wäre aber dann doch $\begin{eqnarray} Arcsin(3-x) \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} -Arcsin(3-x) \end{eqnarray}$ ...
23.05.2007, 08:41	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es so wäre, dann differenziere doch mal $\begin{eqnarray} F(x)= arcsin(3-x) \end{eqnarray}$ .
23.05.2007, 19:47	Sonnenschein1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre ja dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{1-(3-x)^2}} (-1) \end{eqnarray*}$ . Hier muss ich ja nach differenzieren. Gibt es andersherum denn auch sowas wie "nachintegrieren"??? Irgendwie stehe ich gerade diesbzgl. auf dem Schlauch... Aber was ist denn an meiner angegeben Gleichung (letzter Post) falsch? Wenn man in den beiden letzten Termen die Klammern auflöst steht doch dasselbe unter der Wurzel, oder??
23.05.2007, 22:46	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst es zwar nicht explizit auf aber du löst dieses Integral eigentlich mit Substitution. Dadurch kommt auf das "nachintegrieren" her, da mit $\begin{eqnarray} u = 3 - x \end{eqnarray}$ du $\begin{eqnarray} \dd u = -1\dd x \end{eqnarray}$ bekommst, du also durch - teilen musst bei der Substitution.
24.05.2007, 20:34	Sonnenschein1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop das mit der Substitution hatte ich etwas unterschlagen. Vielen Dank nochmal für eure Hilfe!!

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