Kleine Frage zu Ringen

18.05.2007, 20:10

Alfred J. Kwack

Kleine Frage zu Ringen

Hallo Matheasse,
Ich hab ne kleine Frage zu Ringen:
Kann ich in einem kommutativen Ring mit Einselement (einfach) die Negation der 1 benutzen? Also ich meine so:
$\begin{eqnarray*} a*(-b) = (-a)*b \end{eqnarray*}$
weil:
$\begin{eqnarray*} a*(-b) = a*((-1)*b) = (a*(-1))*b = (-a)*b \end{eqnarray*}$ ?
Um möglichen Fragen vorzubeugen: Ich soll das erste zeigen und nunja, dieser Ansatz würde mir einfallen.

18.05.2007, 21:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Bliebe nur noch die Frage: Warum ist eigentlich $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot x = -x \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2007, 21:54

Alfred J. Kwack

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Bliebe nur noch die Frage: Warum ist eigentlich $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot x = -x \end{eqnarray*}$ ?

Na, wenn die Frage offen bleibt, dann ist der Ansatz ja so nicht ganz richtig, weil meine Idee ja darauf basiert, dass $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot x = -x \end{eqnarray*}$ gilt...

Nun, ich versuche mal weiter auszuholen:
$\begin{eqnarray*} (-1)+1 = 0 \end{eqnarray*}$ , weil jedes Element in einem Ring ein additiv inverses Element besitzt.
Es folgt $\begin{eqnarray*} (-1)*1 = 1*(-1) = (-1) \end{eqnarray*}$ (da wir nur kommutative Ringe mit 1 betrachten).
Aber der bahnbrechende Schritt von $\begin{eqnarray*} (-1)*1 = (-1) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (-1)*x = (-x) \end{eqnarray*}$ fehlt dann doch immernoch, ich kann das ja vom neutralen nicht auf beliebige Elemente übertragen, oder etwa doch?

19.05.2007, 22:58

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein kannst du nicht.
Beachte:
$\begin{eqnarray*} -1\cdot x = -1\cdot x + (x-x) \end{eqnarray*}$

20.05.2007, 14:30

Alfred J. Kwack

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal auf:
Aus $\begin{eqnarray*} -1*x = -1*x+(x-x) \end{eqnarray*}$ folgt ja $\begin{eqnarray*} -1*x = (-1*x+x)-x \end{eqnarray*}$ .
Also betrachte ich zunächst $\begin{eqnarray*} (-1*x+x) \end{eqnarray*}$ und stelle fest, dass
das inverse Element der Addition zu $\begin{eqnarray*} -1*x \end{eqnarray*}$ das Element $\begin{eqnarray*} -(-1*x) \end{eqnarray*}$ sein muss, wegen $\begin{eqnarray*} x+x'=0 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich mir $\begin{eqnarray*} -1*x \end{eqnarray*}$ anschaue, hat das Produkt ein negatives Vorzeichen, da ein Faktor negativ ist, sprich das Vorzeichen von x wird invertiert.
Durch das negative Vorzeichen vor dem gesamtem Ausdruck folgt dann $\begin{eqnarray*} -(-1*x) = x \end{eqnarray*}$

Zurück zu $\begin{eqnarray*} (-1*x+x) \end{eqnarray*}$ , das wäre dann ja gelich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Und somit $\begin{eqnarray*} -1*x=-x \end{eqnarray*}$ .

Aber irgendwie habe ich immernoch das Gefühl, hier was übersprungen zu haben, oder nich?

20.05.2007, 15:41

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Alfred J. Kwack
Wenn ich mir $\begin{eqnarray*} -1*x \end{eqnarray*}$ anschaue, hat das Produkt ein negatives Vorzeichen

Ich verstehe ja ehrlich gesagt nicht so viel von Ringen, aber was ist denn das Vorzeichen eines Elementes in einem Ring? verwirrt

20.05.2007, 16:46

Alfred J. Kwack

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ich verstehe ja ehrlich gesagt nicht so viel von Ringen, aber was ist denn das Vorzeichen eines Elementes in einem Ring? verwirrt

Hm, danke für die Frage. Du hast natürlich Recht ( Big Laugh

), ein Element hat nicht per se Vorzeichen, daran hab ich gar nicht gedacht.
Ein Minus als Vorzeichen sagt lediglich aus, dass dieses Element additiv invers zum Element mit dem selben Bezeichner ohne Minus ist.
Darauf wolltest du doch hinaus?

So langsam würde ich mich über einen weiteren Hinweis freuen, ich find die Brücke einfach nicht.

20.05.2007, 17:37

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Alfred J. Kwack
So langsam würde ich mich über einen weiteren Hinweis freuen, ich find die Brücke einfach nicht.

Schau dir einfach die Ring-Axiome an. Dann wirst du fündig! Beachte: x = 1 * x.

Neue Frage »

Antworten »

Kleine Frage zu Ringen

Verwandte Themen