Problem mit Kegelschnitten.

19.05.2007, 00:25

Jan17

Problem mit Kegelschnitten.

Hi!

Ich bräuchte Hilfe bei folgenden Beispiel:
Ich habe den Punkt einer Ellipse und eine Tangente:
Mein Rechengang:
1. Tangente auf die Form y=kx+d umformen
2. d und k in die Berührbedingung einsetzen
3. a^2 oder b^2 ausdrücken
4. Punkt in die allgemeine Ellipsengleichung einsetzen
5. das ausgedrückte a^2 oder b^2 ebenfalls in die Ellipsengleichung einsetzen - es entsteht eine quadratische Gleichung.
6. entweder die Diskriminante wird negativ oder es kommt eine andere falsche Lösung raus!
Was mache ich falsch?

19.05.2007, 08:23

riwe

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RE: Problem mit Kegelschnitten.
schicke das beispiel,
das wäre viel einfacher!

19.05.2007, 10:10

Jan17

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Eine Ellipse in 1. HPL besitzt im Punkt (2/y) die Tangente: x + 2y=8
Berechnen Sie eine Gleichung der Ellipse und zeigen Sie, dass diese Gleichung 3x^2+4y^2=48 lautet!

Meine Rechnung:
Y-Koordinate des Punktes durch einsetzen von x in die Tangentengleichung errechnen.
Tangentengleichung umformen: $\begin{eqnarray*} y=-1/2x+4 \end{eqnarray*}$
In die Berührbedingung einsetzen: $\begin{eqnarray*} 16=1/4a^2+b^2 \end{eqnarray*}$
umformen: $\begin{eqnarray*} b^2=64-a^2 \end{eqnarray*}$
In die Ellipsengleichung einsetzen: $\begin{eqnarray*} 4(64-a^2)+9a^2=a^2(64-a^2) \end{eqnarray*}$
Es ensteht die quadratische Gleichung:
$\begin{eqnarray*} a^4-59a^2+256=0 \end{eqnarray*}$
a^2=54,284
a^2=4,715

19.05.2007, 10:52

riwe

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zunächst das einfache:
der punkt hat die koordinaten P(2/3) , wie aus der geraden ersichtlich,
und $\begin{eqnarray*} m = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

damit hast du
I: $\begin{eqnarray*} 4b²+9a²=a²b² \end{eqnarray*}$

durch implizite differentation von (I) (die berührbedingung habe ich nicht mehr im kopf) bekommst du nun

$\begin{eqnarray*} y^\prime=-\frac{b²x}{a²y}=-\frac{2b²}{3a²}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

in (I) einsetzen ergibt das traumergebnis

19.05.2007, 10:54

Jan17

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Was ist m?

19.05.2007, 10:55

Jan17

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Achso verstehe schon. Wir nennen es immer k.
Vielen Dank! Unsere Lehrer wollen immer, dass wird das differenzieren vermeiden und dadurch wird es echt unverständlich!

19.05.2007, 11:01

riwe

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Zitat:

Original von Jan17
Achso verstehe schon. Wir nennen es immer k.
Vielen Dank! Unsere Lehrer wollen immer, dass wird das differenzieren vermeiden und dadurch wird es echt unverständlich!

also bist du vermutlich auch aus österreich verwirrt

dann finde ich eure lehrer komisch Big Laugh

ich vermeide es möglichst, schematisch nach formeln zu ackern.
besonders, wenn sie nicht notwendig sind.
werner

19.05.2007, 11:04

Jan17

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Ja ich bin aus Wien.
Unser Matheunterricht beschränkt sich auf das Auswendiglernen der Formelsammlung.

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Problem mit Kegelschnitten.

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