Borelmenge

19.05.2007, 11:03

piloan

Borelmenge

Hi
Seien $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,... \end{eqnarray*}$ Borel Funktionen.Zeigen Sie, dass die Menge

$\begin{eqnarray*} B=\{x\in \mathbb R | lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) existiert\} \end{eqnarray*}$
eine Borel Menge ist.

Da der $\begin{eqnarray*} lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) \end{eqnarray*}$ existiert folgt ja die Messbarkeit.
Wie argumentiere ich nun weiter? (Die aufgabe soll nicht so schwierig sein)
Ich muss ja irgendwie zeigen ,dass B eine Teilmenge der Borelschen Sigma Algebra ist...
Liebe Grüße

19.05.2007, 12:47

WebFritzi

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Du musst zuerst folgendes einsehen:

$\begin{eqnarray*} B = \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty \bigcap_{m=N}^\infty \left\{ x\in\mathbb{R} : \left| f_n(x) - f_m(x)\right| < \frac{1}{k} \right\}. \end{eqnarray*}$

Dann folgt die Behauptung aus der Messbarkeit der f_n.

19.05.2007, 13:45

piloan

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ehmm.....da komm ich nicht ganz mit unglücklich

...
wie komm ich denn auf die aequivalenz? und was bringt es mir die menge so darzustellen?
Liebe grüße

19.05.2007, 13:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von piloan
ehmm.....da komm ich nicht ganz mit unglücklich

...

Doch! Wenn du es dir klarmachst, was es bedeutet, dass ein Punkt x in dieser Menge enthalten ist, dann kapierst du es.

Zitat:

Original von piloan
wie komm ich denn auf die aequivalenz?

Welche Äquivalenz? Wenn, dann gibt es hier nur eine Gleichheit, und das ist die, die ich dir hingeschrieben habe.

Zitat:

Original von piloan
und was bringt es mir die menge so darzustellen?

So sieht man, dass B ein abzählbarer Schnitt von abzählbaren Vereinigungen von Borel-Mengen ist. Und sowas ist wieder eine Borel-Menge (siehe Definition einer Sigma-Algebra).

20.05.2007, 15:16

piloan

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Hi
ich denke du hast die Cauchydefinition hier benutzt.Es konvergiert jede Cauchyfolge.
Die Mengenoperationen sind mir alle zwar noch nicht 100%ig klar aber ich denke ich habs ein wenig gerafft smile

20.05.2007, 15:45

WebFritzi

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Jo, so sieht's aus. Ich hab den Beitrag übrigens noch editiert. Vorher ging das m bei 1 los, was natürlich falsch ist. Auch m muss - genauso wie n - ab N losgehen.

Nochwas zum Verständnis: Ein Schnitt bedeutet immer "für alle" und die Vereinigung bedeutet "es gibt" bzw. "es existiert".

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