Beweis µA hat Grad 2

19.05.2007, 13:25

Smilyleinchen

Beweis µA hat Grad 2

hallo allerseits, ich habe eine frage zu einer aufgabe von mir, leider sitze ich vor dieser aufgabe wir ochs vorm scheunentor Augenzwinkern

ich hoffe ihr könnt mir helfen

also :

- Sei A€Mn(k) mit n<=2 eine Matrix vom Rang1. Beweisen sie, dass µA den Grad 2 hat.

wie soll ich anfangen, bzw da rangehen ?

vlg Wink

19.05.2007, 13:32

tigerbine

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RE: Beweis µA hat Grad 2
Könntest du bitte den Editor verwenden? Was ist $\begin{eqnarray*} \mu A \end{eqnarray*}$ ?

Gruß

19.05.2007, 13:48

Smilyleinchen

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RE: Beweis µA hat Grad 2
µA ist das Minimalpolynom

Wink

19.05.2007, 14:00

tigerbine

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RE: Beweis µA hat Grad 2
So jetzt noch deine Matrixschreibweise klären. $\begin{eqnarray*} A \in M(n \times n, \mathbb K),~0 < n \leq 2 \end{eqnarray*}$ , also eine nxn Matrix mit Einträgen aus IK ? Also entweder 1x1 oder 2x2?

19.05.2007, 14:16

Smilyleinchen

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RE: Beweis µA hat Grad 2
entschuldige bitte, ich schussel
es ist n>= 2, dann stimmts so Hammer

19.05.2007, 14:45

tigerbine

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geklärte Aufgabenstellung
Damit lautet die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in M(n \times n, \mathbb K),~n \geq 2,~Rang(A)=1 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu (A) \end{eqnarray*}$ den Grad 2 hat.

Wie würdest Du es denn im Falle n=2 angehen. Wie habt ihr das minimalpolynom definiert?

19.05.2007, 14:59

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
zum minimalpolynom weiss ich folgendes : wenn ich eine matrix gegeben habe, rechne ich erst das charakteristische polynom aus durch die determinante (ähnlich, als wenn ich die eigenwerte berechnen würde) dann nehme ihc mir das polynom mit kleinstem grad, das ist dann mein minimalpolynom . soweit richtig ? Wink

19.05.2007, 15:04

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung
Was soll dich denn hinter dem "Polynom kleinstens Grades" verbergen? Es ist richtig, dass das Minimalpolynom ein Teiler des char. Polynom ist. Jeder irreduzible Teiler P des char. Polynoms ist auch Teiler des Minimalpolynoms.

Fangen wir also mal mit einer 2x2 Matrix an. Wie sieht ihr char.Poly aus? Bedenke, dass die den Rang 1 hat.

19.05.2007, 15:08

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
ja gut, wenn es eine 2x2 matrix mit rang 1 eins ist, dann wäre der eigenwert eine ganze zahl verwirrt

19.05.2007, 15:21

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung
Wie soll ich Dir denn helfen, wenn Du nicht meine Fragen beantwortest?

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Char. Polynom:

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda) &&=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}& -a_{12} \\ -a_{21} & \lambda -a_{22} \end{vmatrix} = (\lambda - a_{11})(\lambda -a_{22}) - (-a_{21})(-a_{22}) =\\&&= \lambda^2-(a_{11}+a_{22})\cdot \lambda + (a_{11}a_{22}-a_{21}{a_{12}}) \end{eqnarray*}$

Das ist eine quadratische Funktion, die entweder 0,1,2 Nullstellen hat. Was bedeutet das für das Minimalpolynom in den 3 Fällen?

19.05.2007, 15:26

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
das bedeutet folgendes : bei 0 als Nst ist das minimalpolynom ebenfalls 0. bei 1 als Nst ist das minimalpolynom zb folgendes : (x-1) , somit hat es genau eine nullstelle und ist ein polynom 2. grades. Analog für 2 Nst. zb : (x-2)(x-5) wenn ich dieses ausmultipliziere, hat mein minimalpolynom den grad2. Wink

19.05.2007, 15:33

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung
NEIN...Wenn das charakteristische Polynom über IR keine Nullstelle hat, ist es irreduzibel. Somit ist in dem Fall Minimalpolynom = normiertes char. Polynom.

Also überdenke deine Antwort bitte nochmal...

19.05.2007, 15:44

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
du hast recht, an das irreduzibel habe ich natürlich nicht gedacht, aber das mit den 2, oder 3 Nst war doch richtig, oder ? so habe ich es zumindest immer verstanden unglücklich

19.05.2007, 15:49

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung
Nein, wenn wir nur eine Nullstelle haben, dann ist das char, Poly (k sein die Normierungskonstante)

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda) =k \cdot (\lambda-\lambda_1)^2 \end{eqnarray*}$

Das Minimalpolynom ist dann:

$\begin{eqnarray*} \mu_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1) \end{eqnarray*}$

Wieso sollte das jetzt den Grad 2 haben?

19.05.2007, 15:57

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
ja das stimmt, oh man, ich dachte, die aufgabe wäre nciht so kompliziert, muss ich wohl alles nochmal nacharbeiten. aber wie beweise ich denn nun, dass wenn n>=2 ist, den Rang 1 hat, das minimalpolynom den grad 2 hat. wenn ich dsa weiterführe, was du mir eben erzählt hast und ich dsa beispielsweise auf eine 3x3 matrix anwende (was ja die aufgabenstellung ist) , dann bekomme ich doch ein minimalpolynom 2. grades raus , oder ? was mir nurnoch stört, ist der rang 1 Hammer

19.05.2007, 16:01

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung
Du musst Dich erstmal mit den Begriffen vertraut machen. Wir sind mit den Fall 2x2 immer noch nicht fertig. Zwischenergebnis:

$\begin{eqnarray*} 1. ~\chi_A \text{ irreduzibel } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. ~\chi_A \text{ 1 doppelte Nst. } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. ~\chi_A \text{ 2 versch. Nst. } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 2 } \end{eqnarray*}$

Wie begründest Du denn nun, das Fall 2 hier nicht eintritt?

19.05.2007, 16:12

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
gut, in ordnung, ich bin folgender meinung : für (x-2)^2 resultiert doch für dsa minimalpolynom folgendes unglücklich

x-2) der grad dessen ist 1, richtig ? laut aufgabenstellung darf dsa ja nicht sein Wink

19.05.2007, 16:14

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung
Du sollst doch zeigen, dass das nicht sein kann. Und es nicht damit begründen...Wir haben die weitere Angabe Rang(A)=1 noch gar nicht benutzt.

19.05.2007, 16:24

WebFritzi

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Wollte nur mal einwerfen, dass das charakteristische Polynom im Fall rang(A) = 1 die folgende Form haben muss:

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = k\lambda^{n-1}(\lambda - \lambda_0) \end{eqnarray*}$

mit einem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ von A. Das sieht man, wenn man A auf Zeilenstufenform bringt.

19.05.2007, 16:26

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
also müsste ich das, was ich eben gesagt habe, wieder genau umdrehen, damit es wieder passt Hammer

19.05.2007, 16:28

tigerbine

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Damit hat Dir WEbFritzi das Ziel der Reise verraten Augenzwinkern

(Gruß nach Berlin Wink

) Vielleicht kannst Du das mal in unserem noch Fall 2x2 deutlich machen. Ein Satz, den man brauchen könnte:

"Ähnliche Matrizen haben dasselbe char. Polynom (Die Umkehrung gilt i.A. nicht)"

EDIT: nicht nur umdrehen, sondern auch mit einer Begründung versehen.

19.05.2007, 16:41

Smilyleinchen

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ah ok, vielen dank @webfritzi, dh ähnliche matrizen haben das selbe minimapolynom, dies ist bei 1 doppelten Nst und dem Grad 1 des minimalpolynoms nicht gegeben, ok ? meinst du, ich muss dsa auch noch für eine 3x3 matrix zeigen, oder wird dsa von webfritzi reichen ? Wink

19.05.2007, 16:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von tigerbine
Damit hat Dir WEbFritzi das Ziel der Reise verraten Augenzwinkern

(Gruß nach Berlin Wink

)

Gruß zurück. Aber warum das minimale Polynom (was für mich das von Grad her kleinste Poynom p ist, das das charakt. Polynom teilt mit p(A) = 0) den Grad 2 hat, verstehe ich noch nicht so. Also, ich habe so im Gefühl, dass das Minimalpolynom die Form

$\begin{eqnarray*} p_\mu(A) = \lambda (\lambda - \lambda_0) \end{eqnarray*}$

haben müsste. Kann das aber nicht begründen.

19.05.2007, 16:43

tigerbine

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wollte nur mal einwerfen, dass das charakteristische Polynom im Fall rang(A) = 1 die folgende Form haben muss:

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = k\lambda^{n-1}(\lambda - \lambda_0) \end{eqnarray*}$

mit einem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ von A. Das sieht man, wenn man A auf Zeilenstufenform bringt.

Er hat die Lösung angeben und einen Ansatz zur Begründung. Diese musst Du natürlich noch liefern. Nicht einfach das hinschreiben. Ich wollte, dass Du die Formel erstmal für den Fall 2x2 einsiehst. Deswegen habe ich "klein" angefangen...

19.05.2007, 16:47

tigerbine

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Wie heißt denn die Form der Matrix auf die wir sie beim Versuch zu Diagonalisieren "mindestens" bringen können? Augenzwinkern

19.05.2007, 16:50

Smilyleinchen

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langsam zweifel ich an meinem verstand, so schwer kann das doch garnicht sein unglücklich

nun weiss ich net mehr weiter

19.05.2007, 16:53

tigerbine

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Begründe doch nun erstmal, warum die Behauptung für eine 2x2 Matrix gilt, wenn diese den Rang 1 hat. Ich habe dir 3 Fälle genannt. Welche sind auszuschließen und wie kommt die Formel von WebFritzi dann ins Spiel.

Wie würdest Du denn zu geg. quadr. Matrix den Rang bestimmen. Oft verwendet man den Gauß-Algorithmus. Doch sind die erhaltene Dreiecksmatrix und die Ausgangsmatrix ähnlich?

Wenn eine Matrix zu einer Dreiecksmatrix ähnlich ist, nennt man sie trigonalisierbar. Kann man jede Matrix tridiagonalisieren?

EDIT: Um den Unterschied zwischen Gauß-Algorithmus und Ähnlichkeit zu einer Tridiagonalmatrix zu verdeutlichen.

19.05.2007, 17:02

Smilyleinchen

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ok, es ist ja nicht so, dass ich aufgebe Augenzwinkern

von den genannten 3 fällen der 2x2 matrix entsprechen 2 nicht der gegebenen formel vom webfritz. also ist der schlüssel die letzte formel, die er mir gab. tridiagonalisieren hatten wir nocht nicht, ich bringe die matrix immer auf zeilen stufen form und gucke nach, wieviel von null verschieden zeilen ich habe. das klappt immer recht gut smile

mit jeder matrix (um den rang zu bestimmen) kann man das nicht machen Wink

19.05.2007, 17:27

WebFritzi

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Ich hab's jetzt gerafft. Augenzwinkern

19.05.2007, 17:31

Smilyleinchen

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also ist dsa richtig, was ich gesagt habe Augenzwinkern

19.05.2007, 17:43

WebFritzi

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Nö, nicht wirklich.

19.05.2007, 17:45

tigerbine

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Du bringst ganz stark Gegebenes und Zu zeigendes durcheinander. Der Gaussalgo geht ja nun grob gesagt so vor:

* A durch Ähnlichkeitstransformation auf Zeilenstufenform bringen

* Aus der Zeilenstufenform folgerst Du den Rang.

Warum darfst Du die Argumentationskette nun umdrehen?

19.05.2007, 17:48

WebFritzi

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Sorry, tigerbine, aber ich finde deine Fragestellung missverständlich. Ich würde erstmal so fragen: Bringe die Matrix (in Gedanken) auf Zeilenstufenform. Das funktioniert nicht nur ganz gut, Smilyleinchen, sondern geht immer! Wie sieht die Matrix dann aus?

19.05.2007, 17:48

Smilyleinchen

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naja, ich denke, ich darfs umdrehen, weil ich den Rang schon gegeben habe Wink

19.05.2007, 17:51

Smilyleinchen

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naja, wenn ich die matrix auf zeilen-stufenform gebracht habe, stehen dort entweder nullzeilen, oder keine, da der rang 1 ist, habe ich mindestens eine von null verschiedene zeile Wink

19.05.2007, 17:52

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$

nun sagst Du, weil B gegeben ist gilt:

$\begin{eqnarray*} A \Leftarrow B \end{eqnarray*}$

unglücklich

@WebFritzi:

Und genau für das "geht immer" wollte ich eine Begründung hören. Augenzwinkern

19.05.2007, 17:57

Smilyleinchen

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"Ähnliche Matrizen haben dasselbe char. Polynom (Die Umkehrung gilt i.A. nicht)" hängts vll damit zusammen, also das mit dem Rang und so hab ich ja verstanden smile

19.05.2007, 18:01

tigerbine

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Satz-Einschub
Für's Protokoll erkläre ich mal den erwähnten Begriff...

Tridiagonal-Matrizen

Eine Matrix A heißt Tridiagonalisierbar, wenn eine Matrix $\begin{eqnarray*} S \in GL(n;~\mathbb K) \end{eqnarray*}$ derart existiert, dass $\begin{eqnarray*} SAS^{-1} \end{eqnarray*}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Theorem

Es gilt folgende Äquivalenz:

A ist tridiagonalisierbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Das Char. Polynom zerfällt über $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren.

Wikipedia

19.05.2007, 18:04

Smilyleinchen

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RE: Satz-Einschub
genau und wenn das char.polynom in linearfaktoren zerfällt, resultiert daraus mein minimalpolynom smile

19.05.2007, 18:08

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung

Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} 1. ~\chi_A \text{ irreduzibel } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. ~\chi_A \text{ 1 doppelte Nst. } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. ~\chi_A \text{ 2 versch. Nst. } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 2 } \end{eqnarray*}$

Was ist aber nun mit Fall1?

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Beweis µA hat Grad 2

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