Beweis µA hat Grad 2 - Seite 2

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19.05.2007, 18:15

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung

ja das polynom lässt sich nicht als produkt von polynomen kleineren grades darstellen, deswgen ist es irreduzibel smile

19.05.2007, 18:19

tigerbine

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RE: geklärte Aufgabenstellung
Das war nicht meine Frage. Laut dem Satz gibt es dann keine Ähnlichkeit zu einer Dreiecksmatrix. Wie erklärst Du dann deine Folgerungen aus dem Rang?

19.05.2007, 18:20

WebFritzi

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@tigerbine: Ich glaub, ich hab da doch was noch nicht so gerafft... Wie ist das nochmal. Wenn ich eine nxn-Matrix auf obere Dreiecksgestalt gebracht habe - ist dann die entstandene Dreiecksmatrix D ähnlich zur Ausgangsmatrix A oder gilt nur D = SAT?

19.05.2007, 18:24

Smilyleinchen

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RE: geklärte Aufgabenstellung
sehr gute frage Hammer

19.05.2007, 18:25

tigerbine

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A und R (obere Dreiecksmatrix) sind dann ähnlich, wenn (*) gilt. Dazu brauchen wir eine reguläre Matrix S mit

$\begin{eqnarray*} R=SAS^{-1} \Leftrightarrow S^{-1}DS=A \end{eqnarray*}$ (*)

19.05.2007, 18:30

WebFritzi

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Ich fürchte, du hast meine Frage nicht beantwortet...

19.05.2007, 18:31

Smilyleinchen

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wie schreibe ich das denn nun so zusammen, dass es zu meiner aufgabe passt unglücklich

es waren soo viele nützliche informationen , vielen dakn schonmal an euch beide smile

19.05.2007, 18:35

tigerbine

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Zitat:

Wie ist das nochmal. Wenn ich eine nxn-Matrix auf obere Dreiecksgestalt gebracht habe - ist dann die entstandene Dreiecksmatrix D ähnlich zur Ausgangsmatrix A oder gilt nur D = SAT?

Rückfrage:

Wie schreibt man den Gaussalgorithmus (mit Pivotisierung) mit Matrizen hin?

Was sind denn SAT bei Dir?

@smileyleinchen:

Ja Du sollst hier selbst mal die Beweiskette führen. Aber dafür musst Du doch erstmal die Begriffe verstehen. Eine Musterlösung schreiben wir hier nicht hin.

Bislang machst Du halt beim Argumentieren "arge Schnitzer", so dass wir etwas ausholen müssen, um die Aufgabe zu lösen.

19.05.2007, 18:36

WebFritzi

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Was A ist, hatte ich geschrieben. S und T sind Produkte von Elementarmatrizen (oder wie die gleich hießen).

19.05.2007, 18:41

Smilyleinchen

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k, kannst du mir nen kleinen ansatz geben und ich versuchs dann auszuführen ?

19.05.2007, 18:50

tigerbine

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@WebFritzi:

Ja, bei Gauß benutzt man die Elementarmatrizen, nennen wir das ganze "Paket" dann mal S.

$\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} SAx=Sb \end{eqnarray*}$ oder mit der entspr. Definition R:=SA, c:=SB

$\begin{eqnarray*} Rx=c \end{eqnarray*}$

Beide LGS haben die gleiche Lösungsmenge. Deine Frage war nun, ob die Matrizen ähnlich sind, oder?

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1\\1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

führt mit Gauss auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0\\-1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1\\0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmung des char. Poly und des Anwendung des invertierten Satzes von vorhin:

Matrizen sind nicht ähnlich $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ char. Polynome sind verschieden

Sollten die Frage beantworten, oder? verwirrt

Edit: Elementarmatrix ergänzt

19.05.2007, 18:57

tigerbine

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@beide:

ich mach nun mal Pause. Schaue aber am späten Abend wieder vorbei. Vielleicht habt ihr das Puzzle dann ja schon fertig.

20.05.2007, 00:07

tigerbine

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Wort zum Sonntag

Zitat:

Damit lautet die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in M(n \times n, \mathbb K),~n \geq 2,~Rang(A)=1 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ den Grad 2 hat.

Nehmen wir doch einmal den kleinsten Fall, also n=2. Dann kamen wir zu folgender Fallunterscheidung für das char. Polynom:

$\begin{eqnarray*} 1. ~\chi_A \text{ irreduzibel } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. ~\chi_A \text{ 1 doppelte Nst. } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. ~\chi_A \text{ 2 versch. Nst. } \Rightarrow \mu_A \text{ hat Grad 2 } \end{eqnarray*}$

Nun prüfen wir mal, welche Fälle hier möglich sind. In den Fällen 2 und 3 zerfällt das char. Polynom in Linearfaktoren. Nach dem erwähnten Satz ist A dann ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix R. Dabei dürfte bekannt sein, dass die Eigenwerte auf der Diagonalen stehen.

$\begin{eqnarray*} 2.~R=\begin{pmatrix} \lambda_1 & r_{12} \\ 0 & \lambda_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.~R=\begin{pmatrix} \lambda_1 & r_{12} \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix},~\lambda_1 \neq \lambda_2 \end{eqnarray*}$

Wenn wir jetzt mal die Forderung, dass A den Rang 1 haben soll (und somit auch R) ins Spiel bringen, dürfte klar sein, warum Fall 2 nicht möglich ist und sich in Fall 3 die von WebFritzi erwähnte Form für char. Polynoms (und damit hier auch des Minimalpolynoms, was er erwähnte) ergeben muss.

Bleibt jetzt noch Fall 1 zu klären. Nehmen wir einmal die Matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sie hat offensichtlich den Rang 2 und es gilt $\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)=\lambda^2+1 = \mu_A(\lambda) \end{eqnarray*}$

Wie läßt sich nun allgemein begründen, dass eine 2x2 Matrix mit irreduziblem char. Polynom den Rang 2 hat? Dazu wird man wahrscheinlich folgenden Satz benötigen:

Haben zwei (2x2)-Matrizen über dem Körper K dasselbe Minimalpolynom, so sind sie ähnlich.

Lehrer

Gilt schon ab 3x3 nicht mehr. Für 3x3 braucht man noch die Gleichheit der char. Polynome. Ab 4x4 ist dann aber endgültig Schluss.

20.05.2007, 00:16

Smilyleinchen

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RE: Wort zum Sonntag
so die hälfte hatte ich mir selbst zusammengeschustert und sogar verstanden smile

vielen lieben dank für deine geduld und hilfe Tanzen

ich werde mir das morgen alles nocheinmal verinnerlichen und dann bestimmt auch komplett verstehen ! Wink

dankeschön

20.05.2007, 00:19

tigerbine

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RE: Wort zum Sonntag
Denke dran, dass Du dann noch den Schluss auf größere Matrizen machen musst. Wink

20.05.2007, 01:25

WebFritzi

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Ich mach das mal. Also, rang(A) = 1, d.h. dim ker(A) = n - 1. Wir wählen eine Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,\dots,v_{n-1}\} \end{eqnarray*}$ von ker(A) und einen Vektor $\begin{eqnarray*} w\notin {\mathrm ker}(A) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} w\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \{v_1,\dots,v_{n-1},w\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , und bezüglich dieser Basis schreibt sich die lineare Abbildung A als Matrix wie folgt:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}\mathbf{0} & B\\ 0 & \mu\end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$

wo B eine (n - 1) x 1 - Matrix ist. Die Null links oben in der Matrix ist eine (n - 1) x (n - 1) - Matrix, die nur aus Nullen besteht. Das ist so, weil $\begin{eqnarray*} \{v_1,\dots,v_{n-1}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des Kerns von A bildet. $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist irgendeine Zahl aus dem Körper. Das charakteristische Polynom von A ist nun offenbar

$\begin{eqnarray*} p_A(\lambda) = (-\lambda)^{n-1}(\mu - \lambda) = (-1)^n \lambda^{n-1}(\lambda - \mu). \end{eqnarray*}$

Jetzt zum Minimalpolynom. Nennen wir es $\begin{eqnarray*} q_A \end{eqnarray*}$ . Für mich ist es das vom Grad her kleinste Polynom mit den folgenden Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} q_A \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} p_A; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_A(A) = 0; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_A(\lambda) = \lambda^d + \dots, \end{eqnarray*}$ wobei d der Grad des Polynoms sei (Normierung).

Wegen (1) und (3) muss gelten

$\begin{eqnarray*} q_A(\lambda) = \lambda^k(\lambda - \mu)^j \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} k\in\{0,1,\dots,n-1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j\in\{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Wir betrachten zuerst den Fall $\begin{eqnarray*} \mu = 0 \end{eqnarray*}$ . Aus der obigen Darstellung von A erkennt man: A² = 0. Da aber $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$ (wegen rang(A) = 1), folgt sofort $\begin{eqnarray*} q_A(\lambda) = \lambda^2 \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall ist also die Behauptung gezeigt.

Sei nun $\begin{eqnarray*} \mu \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen

$\begin{eqnarray*} q_A(\lambda) = \lambda^k \end{eqnarray*}$

an. Aus dem charakteristischen Polynom von A erkennen wir: $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenwert von A. Mit einem Eigenvektor x zu $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ folgte

$\begin{eqnarray*} q_A(A)x = A^kx = A^{k-1}Ax = \mu A^{k-1}x = \dots = \mu^k x \neq 0. \end{eqnarray*}$

Wegen (2) kann das also nicht das Minimalpolynom sein, und es folgt

$\begin{eqnarray*} q_A(\lambda) = \lambda^k(\lambda - \mu). \end{eqnarray*}$

Nun ist noch k zu bestimmen. k ist nicht Null, denn sonst wäre (I bezeichne die Einheitsmatrix)

$\begin{eqnarray*} 0 = q_A(A) = (A - \mu I), \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} A = \mu I \end{eqnarray*}$ , was offenbar nicht der Fall ist. Wenn wir nun noch zeigen, dass für k = 1 der Punkt (2) erfüllt ist, sind wir fertig. Wir müssen also zeigen:

$\begin{eqnarray*} A(A - \mu I) = 0. \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von A ist, gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n = {\mathrm ker}(A)\oplus {\mathrm ker}(A - \mu I). \end{eqnarray*}$

Also gibt es $\begin{eqnarray*} u\in{\mathrm ker}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in{\mathrm ker}(A - \mu I) \end{eqnarray*}$ , so dass x = u + v. Es folgt

$\begin{eqnarray*} A(A - \mu I)x = A(A - \mu I)(u + v) = A(A - \mu I)u + A(A - \mu I)v = A(A - \mu I)u = (A - \mu I)Au = 0. \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ beliebig war, folgt die Behauptung.

Kann sein, dass es einfacher geht. Ich hab's nicht einfacher hinbekommen.

20.05.2007, 01:47

tigerbine

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Bin gerade in anderen Denkprozessen. Mag sein, dass ich gerade einfach etwas begriffsstutzig bin. Also bis hierhin komme ich noch mit:

*************************************************
Wir sind im endlich Dimensionalen $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , aus dem Rangsatz folgt dann: $\begin{eqnarray*} \text{Rang}(A) =1 \Leftrightarrow \text{Defekt}(A)=n-1 \end{eqnarray*}$
Es ist nun Ker(A) ein Untervektorraum von V und man kann eine Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,\dots,v_{n-1}\} \end{eqnarray*}$ von Ker(A) wählen. Es existiert dann auch ein Vektor $\begin{eqnarray*} w\notin {\mathrm ker}(A)~\Rightarrow w\neq 0 \end{eqnarray*}$ so dass man mit $\begin{eqnarray*} \{v_1,\dots,v_{n-1},w\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V gegeben hat.

**************************************************
Nun verstehe ich nicht wie Du auf die Matrix kommst...Kannst Du das kurz erklären?

20.05.2007, 03:15

WebFritzi

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Na, bezüglich dieser Basis hat A gerade eine solche Darstellung.

$\begin{eqnarray*} Av_i = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 1,\dots,n-1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} Aw = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_{n-1}v_{n-1} + \mu w. \end{eqnarray*}$

Mit

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \vdots\\ \lambda_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sieht A (als lineare Abbildung) bzgl. dieser Basis halt so aus. OK, man kann auch sagen A ist ähnlich zu dieser Matrix.

20.05.2007, 21:34

tigerbine

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Bevor ich es vergesse
So, bevor ich morgen nicht dazu komme mich im Thread nochmal zu äußern, versuche ich kurz zu erklären, auf was ich Smilyleinchen aufmerksam machen wollte.

Der Gaußalgorithmus wird zwar zur Rangbestimmung einer Matrix verwendet, jedoch handelt es sich um keine Ähnlichkeitstransformation. D.h. wenn Du über ihn Aussagen über das Minimalpolynom machen willst, bewegst Du Dich auf dünnem Eis.

Ich bin nun ehrlich gesagt etwas verwundert, dass ihr das Minimalpolynom schon hattet, dir aber der Begriff Tridiagonalisierung nichts sagt. Ich hatte daher nicht "gewagt" das Wort "Jordan-Normal-Form" ins Spiel zu bringen, oder hattet ihr die schon? verwirrt

Denn in dem Zusammenhang sind die Begriffe geometrische und algebraische Vielfachheit von Eigenwerten von entscheidender Bedeutung. Diese benötige "ich", um von dem Rang der Matrix auf die Gestalt des Minimalpolynoms schließen zu können.

Wenn Du WebFritzis Ansatz mit der Basis betrachtest, kommst Du damit auch zum Ziel, ohne Dir zunächst Gedanken über die Gestalt der Matrix machen zu müssen.

20.05.2007, 23:14

WebFritzi

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RE: Bevor ich es vergesse

Zitat:

Original von tigerbine
Der Gaußalgorithmus wird zwar zur Rangbestimmung einer Matrix verwendet, jedoch handelt es sich um keine Ähnlichkeitstransformation. D.h. wenn Du über ihn Aussagen über das Minimalpolynom machen willst, bewegst Du Dich auf dünnem Eis.

Jau. Hab das dann auch irgendwann gerafft gehabt. Danke für deine obige Erklärung (die mit dem Gegenbeispiel).

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