Abstand Ecke-Schwerpunkt im Dreieck

19.05.2007, 16:00	chri	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Ecke-Schwerpunkt im Dreieck Weil ihr mir so toll helft, hab ich nochmal ne frage..... Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a,b,c. Beweisen Sie folgende Formel für den Abstand des Schwerpunktes PSH zu den Eckpunkten des Dreiecks: Strekce A-PSH^2= (2(b^2+c^2)-a^2)/9 Wär echt nett, und vielen dank im Vorraus.
19.05.2007, 17:29	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn der Schwerpunkt definiert?
19.05.2007, 18:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Angaben sind ziemlich kryptisch. Aber ich glaube, ich weiß, worum es geht. Betrachte in der Figur die rechtwinkligen Dreiecke $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \text{(I)} & & AH_c C \\ \text{(II)} & & BH_c C \\ \text{(III)} & & H_c M_c C \end{matrix} \end{eqnarray}$ Wende in jedem Pythagoras an, nur die eingetragenen Strecken $\begin{eqnarray} a, b, c, h_c, s_c, x_c \end{eqnarray}$ verwendend. Subtraktion von $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{(II)} \end{eqnarray}$ liefert dir $\begin{eqnarray} x_c \end{eqnarray}$ . Und durch Subtraktion von z.B. $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{(III)} \end{eqnarray}$ kannst du schließlich $\begin{eqnarray} s_c \end{eqnarray}$ berechnen. Und wo $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} s_c \end{eqnarray}$ liegt, sollte bekannt sein. So bekommst du die Länge der Strecke $\begin{eqnarray} CS \end{eqnarray}$ heraus. Mutatis mutandis folgen die Formeln für $\begin{eqnarray} AS \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} BS \end{eqnarray}$ . Wenn man $\begin{eqnarray} x_c \end{eqnarray}$ als gerichtete Strecke annimmt, d.h. mit einem Vorzeichen versieht, erkennt man, daß der Beweis auch bei anderer Lage der Strecken gilt. Mit baryzentrischen Koordinaten kommt man hier schneller ans Ziel. Aber ich denke, daß du damit nicht vertraut bist.

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