Ableiten einer ln funktion

20.05.2007, 13:42

Hans200

Ableiten einer ln funktion

Hallo,

ich wollte mich mal vergewissern, ob folgde ABleitung richtig

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln \mid x \mid = ln (\sqrt{x_1^2 + x_2^2} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x_1)= \frac{2*x_1}{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray*}$

ABer wie kann ich diese ableitung begründen? reicht es, wenn ich sage das ich die folgende Regel angewendet habe:

$\begin{eqnarray*} Dln \mid u \mid = u'/u \end{eqnarray*}$

oder kann man es noch besser begründen?

20.05.2007, 14:00

20_Cent

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Die Schreibweise f' ist hier nicht richtig, schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$ .
Das Ergebnis ist auch falsch, denn wenn du die Wurzel ableitest, kommt noch ein 1/2 davor...
mfG 20

20.05.2007, 14:12

Hans200

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ah ja, klar. danke du hast recht. dann kürzt sich die 2 im zähler weg. danke smile

und danke für den tipp mit der schreibweise.

aber dann verstehe ich die ableitung trotzdem nicht so ganz. müsste dann nicht folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}= \frac{2*x_1}{2 \sqrt{x_1^2+x_2^2}} \end{eqnarray*}$

wäre das dann richtig?

20.05.2007, 14:15

20_Cent

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ne, wieso, die wurzel kommt einmal als ableitung vom ln hin und einmal als ableitung der wurzel selbst, also insgesamt ohne wurzel.

20.05.2007, 14:19

Hans200

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aber wenn ich zb folgende funktion ableite:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt {x_1^2 + x_2^2} \end{eqnarray*}$

dann lautet doch die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x_1) = \frac {x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} \end{eqnarray*}$

dieses verhältnis habe ich auf diese AUfgabe bezogen.

20.05.2007, 14:30

20_Cent

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Ja, das ist die innere(!) Ableitung von deiner obigen Funktion.
Die äußere, also die des ln, hast du ja oben auch hingeschrieben (u'/u stand da), also rechnest du diese Ableitung noch mal $\begin{eqnarray*} f'(x_1) = \frac {1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} \end{eqnarray*}$ und dann hast du es.
Übrigens: das Symbol bei der Ableitung ist

code:
1:	\partial

du schreibst also

code:
1:	\frac{\partial f}{\partial x_1}

denn f' ist wirklich falsch, weiß ja sonst keiner,
dass du nach x_1 ableitest.
mfG 20

20.05.2007, 15:20

Hans200

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ich glaube jetzt verstehe ich es. wenn man es genau nimmt habe ich jetzt folgendes da stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac {2 \cdot x_1 \sqrt{x_1^2 + x_2^2}}{ 2 \cdot \sqrt{x_1^2+x_2^2} \cdot (x_1^2+x_2^2)} = \frac {x_1}{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray*}$

wäre diese schreibweise korrekt? smile

20.05.2007, 15:59

Hans200

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nee, mist ich glaube ich muss mich nochmal korrigieren. wäre es jetzt richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac {2 \cdot x_1 }{ 2 \cdot \sqrt{x_1^2+x_2^2} \cdot \sqrt{x_1^2 + x_2^2}} = \frac {x_1}{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray*}$

20.05.2007, 16:36

20_Cent

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ja, korrekt.

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