Hab eine Aufgabe für euch!

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rishirushi Auf diesen Beitrag antworten »
Hab eine Aufgabe für euch!
Hi!
Meine Mutter bittet mich, eine Aufgabe zu lösen, welche sie von einer Gruppe hochbegabter Leuter hat. Sieht leicht aus, hats aber meiner Meinung nach in sich:

Ein Einheitskreis mit dem Durchmesser ( d = 1m) befindet sich in einem rechtwinkligen Dreieck, jede Seite ist Tangente. Die Hypothenuse k ist 5m lang. Wie lang ist die zweitlängste Seite l?

Hier eine kleine Skizze:
http://www.freiluft.org/upload/aufgabe.JPG

Ich danke dem, der mir die Aufgabe löst, oder hilfreiche Anhaltspunkte gibt.
Gruß, Christian
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hab eine Aufgabe für euch!
Für den Flächeninhalt F des rechtwinkligen Dreiecks KLM mit der Hypotenuse k, den Kathetenlängen l>m und dem Inkreisdurchmesser d gilt:

4F = (k+l+m)d = 2lm

Außerdem hast du natürlich auch noch den Pythagoras l²+m²=k².

Das sind zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten l und m.

Dann mal los! Big Laugh
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung
Falls Du Lust hast diese Formeln nachzuvollziehen und Dich mit Vektorrechnung auskennst wird der Ansatz, dass der Mittelpunkt des Innkreises der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist vielleicht helfen...
rishirushi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hab eine Aufgabe für euch!
Hm..
1. Gleichung: 4F = (k+l+m)d = 2lm
2. Gleichung: k²=l²+m²

2. Gleichung nach m aufgelöst, m in 1. Gleichung eingesetzt, diese nach l aufgelöst und es funktioniert, l=4,87083

Nur, wie zum Teufel komm ich auf die 1. Gleichung? Wenn das Vektorrechnung ist, dann is klar, hatte ich noch nie. Würd aber gerne da duchsteigen, kann mir die jemand erklären?

Gruß, Christian
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hab eine Aufgabe für euch!
Am Inkreismittelpunkt I wird das Dreieck KLM in drei Teildreiecke LMI, MKI und KLI aufgeteilt. k, l und m sind dann die Seitenlängen der I gegenüberliegenden Seiten in den drei Teildreiecken, die Höhe ist jeweils d/2.

Also gilt

F(LMI)=1/2*k*d/2
F(MKI)=1/2*l*d/2
F(KLI)=1/2*m*d/2

Und jetzt summieren unter Beachtung von

F=F(KLM)=F(LMI)+F(MKI)+F(KLI)

Ist eigentlich eine Dreiecks-Grundformel, den Flächeninhalt mittels Inkreisradius darzustellen. Augenzwinkern
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hab eine Aufgabe für euch!
schön. smile
 
 
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