Transformationsregel für komplexe Integrale

20.05.2007, 19:29

vektorraum

Transformationsregel für komplexe Integrale

Hi!

Ich habe wieder eine Aufgabe, die es zu beweisen gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} D,D'\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ offen und $\begin{eqnarray*} g: D \rightarrow D' \end{eqnarray*}$ holomorph mit stetiger Ableitung. Sei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ein Weg in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C'\subset D' \end{eqnarray*}$ der Bildweg unter $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , d.h.
$\begin{eqnarray*} g(C)=C' \end{eqnarray*}$ .
Es ist zu zeigen, dass für jede stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: D' \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_C~f(z)~dz=\int_{C'}~f(g(\xi))g'(z)~d\xi \end{eqnarray*}$

Nun ja, die Frage ist wie ich hier rangehen kann. Ich kann doch schreiben

$\begin{eqnarray*} \int_C~f(z)~dz=\lim_{n\rightarrow\infty}~S(f,C,Z_n,T_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}~\sum_{l=1}^{n}f(z(\tau_l))(z(t_l)-z(t_{l-1})). \end{eqnarray*}$

Und ich kann das Integral zerlegen in

$\begin{eqnarray*} \int_c~f(z)~dz=\int_C~(u~dx-v~dy)+i\cdot \int_C(v~dx+u~dy) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, was würde mir hier am besten weiterhelfen für den Beweis? Muss ich auf die linke Seite die Abbildung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ schicken, um auf die rechte Seite zu kommen???

Wäre für eure hilfe sehr dankbar! Wink

20.05.2007, 19:35

WebFritzi

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Die Behauptung ist falsch! In der Formel müssen C und C' vertauscht werden. Dann stimmt's. Mit Parametrisierungen ist die Behauptung sehr einfach zu beweisen.

20.05.2007, 20:38

vektorraum

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Echt? Wow - hätte ich nicht gedacht. Aber ergibt sich die rechte Seite der Behauptung nicht durch anwenden von g??? Denn $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ ist doch das Bild von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , oder liege ich da falsch???

Mit der Parameterdarstellung wäre es sicherlich einfach, aber ist da nicht die Frage ob die Parameterdarstellung der Kurve differenzierbar ist??? Ach nee, halt: ist vielleicht $\begin{eqnarray*} g=g(t) \end{eqnarray*}$ die Parameterdarstellung???

Aber dann wäre das ja

$\begin{eqnarray*} \int_C~f(z)~dz=\int_{a}^{b}~f(g(t))\cdot g'(t)~d\xi \end{eqnarray*}$

einfach nur nach Definition, oder??? Dann müsste gezeigt werden, dass das rechte Integral nun das gleiche ist wie

$\begin{eqnarray*} \int_{C'}~\ldots \end{eqnarray*}$

Oder??? verwirrt

Edit: Hab oben auch etwas geändert in der Angabe, habe ich leider verdreht...
Warum soll da im rechten Integral einmal $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ stehen? Jetzt verstehe ich den Zusammenhang nicht mehr...

21.05.2007, 23:20

vektorraum

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Sorry, muss nochmal pushen. Hab in der Angabe oben eine Änderung vorgenommen. Kann mir bitte einer helfen traurig

22.05.2007, 12:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von vektorraum
Mit der Parameterdarstellung wäre es sicherlich einfach, aber ist da nicht die Frage ob die Parameterdarstellung der Kurve differenzierbar ist???

Ich kenne nur das Kurvenintegral über stückweise stetig diffbaren Wegen. Ich denke, man kann hier voraussetzen, dass C stückweise stetig diffbar parametrisierbar ist.

Zitat:

Original von vektorraum
Ach nee, halt: ist vielleicht $\begin{eqnarray*} g=g(t) \end{eqnarray*}$ die Parameterdarstellung???

Uhhh, bring nicht alles durcheinander. g ist doch auf D definiert. Was nun, wenn D die reelle Achse gar nciht schneidet. Dann ist g(t) nicht definiert für reelle t. Stell es dir einfach so vor: mal dir zwei Kreise nebeneinander auf, und male einen Pfeil dazwischen, der vom einen Kreis auf den anderen zeigt. Den linken Kreis beschriftest du mit D, den rechten mit D' und den Pfeil mit g. Das soll verdeutlichen, dass g die Menge D auf D' abbildet. Jetzt male dir eine kleine Kurve in D hinein. Das ist C. Das gleiche machst du in D'. Die Kurve dort heißt natürlich C' und soll gerade das Bild von C unter g sein. So. Du sollst jetzt eine Funktion f über C' integrieren. Sei dazu c eine Parametrisierung von C. Dann ist g°c eine Parametrisierung von C'. Jetzt leg los.

22.05.2007, 17:02

vektorraum

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@WebFritzi: Du hast in deinem ersten Thread recht gehabt, die Aufgabe ist fehlerhaft gestellt. Auch das z was in dem rechten Integral steht, dürfte dort auch gar nicht hin...

Problem ist aber mittlerweile gelöst. Ich wusste nicht ob man einfach annehmen darf, dass die Kurve C parametrisierbar ist und dann auch noch stetig differenzierbar ist. Aber wenn man das annimmt, ist natürlich der Beweis fast offensichtlich...

Hab es also hinbekommen!!!!

Ganz vielen lieben Dank, echt gut erklärt.

P.S. hab mir das auch so aufgemalt gehabt Augenzwinkern

hab da wohl im eifer des gefächtes einfach g vertauscht...

Also, danke! Tanzen

22.05.2007, 19:58

Tomtomtomtom

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Ne, das sollst du eben nicht annehmen. Das ist ja gerade der Witz an der Aufgabe.

Du kennst doch den üblichen Schwierigkeitsgrad/Umfang der Aufgaben bei diesem Prof., da sollte dir eine Lösung in einer halben Zeile zu denken geben.

22.05.2007, 21:46

vektorraum

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@tomtomtomtom:

sinnloser Kommentar. Wenn schon die Aufgabenstellung falsch reingestellt wurde, dann braucht sich auch keiner über eine kurze Lösung zu beschweren. Zumindest werde ich es trotzdem so abgeben.

23.05.2007, 10:36

Tomtomtomtom

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Die Frage ist, ob das den Korrektor interessiert. böse

OK, es waren zwei kleine Schreibfehler drinne, aber daß die aufgeschriebenen Integrale nicht mal Sinn machen, sollte jeder erkennen können, und die Transformationsregel im reellen Fall sollte auch jeder kennen. Damit ist eigentlich klar, wie die Aufgabenstelung zu interpretieren war.

Zu der eigentlichen Aufgabe: In der Vorlesung wurde doch gezeigt, daß man Kurvenintegrale (auch solche bei denen die Parametrisierung nicht stetig differenzierbar ist) beliebig genau approximieren kann durch Kurvenintegrale über Polygonzüge mit Eckpunkten auf der Kurve. Es reicht also solche geeigneten Polygonzüge zu finden. Für diese gilt übrigens, daß die Parametrisierung stückweise stetig differenzierbar ist, also deine bewiesene Formel im Prinzip verwendbar ist. So ganz umsonst wars also nicht, man braucht es sowieso. Nur sind es halt höchstens 10% von der Aufgabe.

23.05.2007, 11:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
In der Vorlesung wurde doch gezeigt, daß man Kurvenintegrale (auch solche bei denen die Parametrisierung nicht stetig differenzierbar ist) beliebig genau approximieren kann durch Kurvenintegrale über Polygonzüge mit Eckpunkten auf der Kurve.

Welche Bedingungen werden in dem Satz an die Kurve C gestellt? Wenn du jetzt sagst "gar keine", dann glaube ich dir das nicht.

23.05.2007, 12:11

Tomtomtomtom

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Die Kurve muß schon rektifizierbar sein (sonst gibts ja die Integrale gar nicht) und der Integrand stetig in einer Umgebung der Kurve. Dann läßt sich das Kurvenintegral beliebig genau approximieren durch Integrale über Polygonzüge mit Eckpunkten auf der Kurve. Der Beweis ist ne reine \epsilon-\delta-Rechnung ohne tieferliegende Ideen.

23.05.2007, 12:39

WebFritzi

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Dann jetzt mal eine tieferliegende Idee, die auch wirklich nur als Idee zu sehen ist:

Ich hab mich unter http://de.wikipedia.org/wiki/Rektifizierbarer_Weg mal schlau gemacht über Rektifizierbarkeit eines Weges. Grob gesprochen ist ein Weg gamma rektifizierbar, wenn gamma von beschränkter Variation ist (nur eben von [0,1] nach C und nicht nach R). Funktionen beschr. Variation von [0,1] nach R haben fast überall eine Ableitung. Das lässt mich vermuten, dass auch ein rektifizierbarer Weg fast überall eine Ableitung besitzt und dass für eine Funktion f, die auf einem Gebiet definiert ist, das das Bild von gamma umfasst, gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma f(z)\,dz = \int_0^1 f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt. \end{eqnarray*}$

Das Integral ist in diesem Fall natürlich das Lebesgue-Integral. Wer will dazu was sagen? Augenzwinkern

23.05.2007, 13:06

Tomtomtomtom

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Im Prinzip ja, du kannst komplexe Kurvenintegrale so umwandeln, und dann durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil ausrechnen. Aber das ganze gilt natürlich nicht ohne Voraussetzungen an f. Es reicht zum Beispiel, daß f stetig ist, aber das ist nicht notwendig, nur hinreichend.

23.05.2007, 13:11

vektorraum

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Nur kurzer Comment: TomTom... kann den Beweis natürlich gerne so führen wie er es möchte. Letztendlich kommt es doch nicht immer darauf an, dass man einen Hundertprozentigen richtigen Beweis liefert, sondern auch den Willen gezeigt hat, sich mit der Aufgabe zu beschäftigen. Wenn es dir so leicht fällt, mach doch ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Beweis. Viel Spaß dabei Augenzwinkern

23.05.2007, 13:25

Tomtomtomtom

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Wenn man weiß, dass das, was man hat, nicht vollständig sondern nur ein kleiner Bruchteil ist, aber man keine Lust hat, weiterzumachen, hat man dann wirklich schon genug Willen gezeigt? Und ist "Die Aufgabenstellung war eh falsch!" auch wirklich keine billige Ausrede mangels Laune? Wink

Soll kein Vorwurf sein, ich weiß, dass bei teilweise 4 oder mehr Blättern die Woche und teilweise schweren Aufgaben nicht genug Zeit da ist. Aber wenn ich der Korrektor wäre, wäre das einfach nicht ausreichend. In der Aufgabenstellung wird eben gerade nicht gefordert, daß der Weg eine stetig differenzierbare Parameterdarstellung hat, und was du sonst noch so um die Ohren hast, weiß der Korrektor nicht. Er weiß aber, dass er selber eine auf den Deckel bekommt, wenn das bei allen Leuten durchgeht (und schätzungsweise 50% der Leute werden sich aus diversen Gründen darauf beschränken), und dem Prof. bei der stichprobenartigen Durchsicht auffällt. Der Prof. will nämlich auch gerne wissen, was seine Studenten so produzieren, auch wenn man ihm das bei seiner grimmigen Art nicht zutraut.

Vielleicht hast du Glück, aber ich wage es mal zu bezweifeln. Immerhin hast du schon mehr Willen gezeigt als der halbe Vorlesungssaal der nur abschreibt. Aber irgendwann später im Studium reicht nur Wille zeigen einfach nicht mehr.

Es ist auch nicht schwer nur weil ein paar Deltas vorkommen. Der umfangreiche Teil ist die Approximationssaussage, aber die steht einfach im Skript und muß nicht mehr bewiesen werden, sondern kann als ziemlich mächtiges Werkzeug eingesetzt werden.

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