Funktion

13.01.2005, 15:03

Gast

Funktion

Hallöle

HILFE!!!! Ich weiß absolut nicht, wie diese Aufgabe funktioniert:
Für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ seien Funktionen
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ : [0,1]--> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_n(x) = nx(1-x)^n \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist, dass
a) die Funktionsfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

und

b) für beliebige 0<a<1 $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf [a,1] konvergiert.

Ich weiß, dass ich die Bernoullische Ungleichung benutzen muss ( $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$ ), aber ich weiß einfach nicht wie!!!

Ich wäre sehr dankbar für Hilfe!

13.01.2005, 19:17

Gast

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mir wurde noch der tip gegeben ich solle die Extrempunkte der Funktionenfolge berechnen. das habe ich gemacht, ich weiß aber nicht wie ich nun weiter machen soll, bzw was mir das bringen soll.
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, was ich damit anfangen kann.
Danke.

13.01.2005, 19:25

Thomas L.

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zuerst nimmst du an das x konstant ist. für jedes x konvergiert die reihe gegen null. da x-1=q<1.dir reihe q^n konvergiert viel schneller als nx. die grenzfunktion ist also y=0.(das müsste man natürlich noch richtig zeigen)
die funktion konvergiert nicht gleichmäßig, da es z.Bsp. für e=0,1 die funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x)=nx(1-x)^n \end{eqnarray*}$ nicht vollständig in der e-Umgebung liegt. Gegenbeispiel für x=1/n ist $\begin{eqnarray*} f_n(1/n)=1/e \end{eqnarray*}$ . Das ist größer als 0,1.

13.01.2005, 20:37

Gast

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wie kommst du denn auf dieses x-1 müsste das nicht, wenn du das aus der funktion meinst 1-x heissen?
und wie kommst du auf das q^n.
Wenn ich dich richtig verstanden habe beweist du die Konvergenz mit dem Majorantenkriterium. geht das denn auch für punktweise konvergenz?????????

13.01.2005, 21:26

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Zitat:

Original von Thomas L.
Gegenbeispiel für x=1/n ist $\begin{eqnarray*} f_n(1/n)=1/e \end{eqnarray*}$ . Das ist größer als 0,1.

Mathematisch "sauber" formuliert:

Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein Index $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} \left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{e}\right|<\varepsilon\quad \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \; n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Deine Idee beeinträchtigt das natürlich in keinster Weise. Augenzwinkern

14.01.2005, 12:55

Thomas L.

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Zitat:

ja 1-x=q ist richtig. ich habe kein kriterium benutzt, sonder nur aus erfahrung hingeschrieben das die folge gegen null geht. als konvergente majorante könnte man f^n nehmen. wobei q<f<1.so ein f gibt es immer.
das geht für punktweise konvergenz, da man da ja x jewils als konstant ansieht und für jede Zahlenfolge (die vom parameterx und der variablen n abhängt) den grenzwert bildet. die abbildung x -> grenzwert der zahlenfolge
heißt dann grenzfolge

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