Trigonometrie - Aufgabe

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Yeti Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrie - Aufgabe
Hi,

bei dieser Aufgabe sollen h, die Höhe und der ß Winkel berechnet werden (wie im Bild zu sehen..)

Mein Problem ist: WIe komme ich an die Länge der gestrichelten Linie, die zu P führt?
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie - Aufgabe
Hallo Yeti

Bei einem Tetraeder (Bild) sind alle Flächen gleichseitige Dreiecke. In diesen schneiden sich alle interessanten Linien (Höhen, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende) in einem Punkt. Ein bissel den ollen Griechen bemühen und fertig. Augenzwinkern

Jan

[edit]Achso, es muss noch gesagt werden, dass sich die Seitenhalbierenden immer im Verhältnis 1:2 schneiden. Nachvollziehbar am leichtesten mit Vektorbetrachtung[/edit]
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie - Aufgabe
Zitat:
Original von kurellajunior
[edit]Achso, es muss noch gesagt werden, dass sich die Seitenhalbierenden immer im Verhältnis 1:2 schneiden. Nachvollziehbar am leichtesten mit Vektorbetrachtung[/edit]


Sprich besagte gestrichelte Strecke, die zum Punkt P führt, wäre 1,5cm lang?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie - Aufgabe
Sprich besagte gestrichelte Strecke, die zum Punkt P führt, wäre 1,5cm lang?

Nein,

vielleicht fehlt dir auch die Info, dass der Fußpunkt der Höhe in
einem solchen Tetraeder genau der Schwerpunkt des
Grunddreiecks ist
.
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Komme da irgendwie nicht so recht weiter.. Wie berechne ich denn diese Strecke?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... du kannst das mit den hier schon gegebenen Info's berechnen,
oder auch aus einer vernüftigen Formelsammlung entnehmen.
Da stehen die nötigen Formeln für ein gleichseitiges Dreieck
üblicherweise drin.

Vielleicht noch ein Tipp, die Verlängerung der gestrichelten Linie
trifft die Grundseite des Dreiecks im rechten Winkel
 
 
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Formensammlung besitze ich leider nicht.

Bin irgendwie immer noch nicht drauf gekommen, wie das geht! Hab wohl irgendwie n' Brett vorm Kopf traurig

Also, die Verlängerung der gestrichelten Linie ist die Seitenhalbierende der längeren Gestrichelten, das weiss ich wohl. Nur weiss ich nicht, inwiefern mir das weiterhelfen soll!

Ich hatte folgende Überlegung:
Man zieht eben diese Verlängerung der gestrichelten Linie, so dass man also das Grunddreieck in zwei Dreiecke teilt.
Das Neue hätte dann unten 3cm Kantenlänge und die hintere gestrichelte Linie wäre 1,5cm lang.
Demnach wäre die Seitenhalbierende 4,5cm lang.
Nur wie bekomme ich jetzt diesen Abschnitt raus, der zu P führt?
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Tetraeder mit der Seitenlänge 3 cm ist nix aber auch gar nix 4,5cm lang!
Die Teilung in zwei rechtwinklige Dreiecke ist gut, da solltest DU jetzt den Phythagoras anwenden...
Und dann die Sache mit den 2/3.

Gehts so?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yeti
Formensammlung besitze ich leider nicht. ...


das ist ein schweres Manko, das du unbedingt abstellen solltest,
denn mit solch einem Gerät musst du dich auch anfreunden und
das geht nicht von heute auf morgen.

Da musst immer wieder mal reinschauen um ein Überblick
zu bekommen was dort alles zu finden ist und gewisse Übung wie
damit umzugehen ist ... und all das braucht Praxis im Umgang damit
.
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Zitat:
Original von Yeti
Formensammlung besitze ich leider nicht. ...


das ist ein schweres Manko, das du unbedingt abstellen solltest,
denn mit solch einem Gerät musst du dich auch anfreunden und
das geht nicht von heute auf morgen.

Da musst immer wieder mal reinschauen um ein Überblick
zu bekommen was dort alles zu finden ist und gewisse Übung wie
damit umzugehen ist ... und all das braucht Praxis im Umgang damit
.

Ja, ich weiss! Nur wollten wir von der Schule eine anschaffen, die dann alle haben müssen und da hab ich mir gedacht, warte ich noch, anstatt hinterher 2 zu haben..

Okay, also nochmal die Grafik des halben Grunddreiecks.
Phythagoras: a^2 + b^2 = c^2
also: 3^2 + 1,5^2 = c^2
11,25 = c^2
3,3541 = c

Okay, nun liegt ja Punkt P auf c.
Sorry, aber ich habs immer noch nicht, wie schaffe ich es jetzt daraus die gestrichelte Linie (s.o.) rauszubekommen??? unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schau einmal diese interessante Figur an.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von YetiOkay, nun liegt ja Punkt P auf c.


Wie groß ist der Winkel im Dreieck zwischen den Seiten mit den Längen 1,5 und 3?

Wie groß ist der Winkel zwischen der Seite mit der Länge 1,5 und der Winkelhalbierenden zwischen diesen Seiten?

Kannst du damit die Länge der Gegenkathete zu P berechnen?
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.. also du möchtest mir mit der Grafik etwas zeigen..
Ich erkenne meinen Tetraeder in einen Würfel "gesteckt" wieder.
Man kann sehr deutlich erkennen, dass die Höhe auf dem Mittelpunkt der Grundfläche steht. Das begreife ich jetzt!
Ist die gesuchte Strecke also die Hälfte meines oben errechneten Wertes (Seitenhalbierende "c")?


Danke, dass du dir so viel Mühe gegeben und eine Grafik erstellt hast.
Und danke auch an alle anderen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du eigentlich genau berechnen (Ziel)?
Den Winkel ?

Falls ja, so betrachte in meiner Figur das rechtwinklige Dreieck ABC. Mehr brauchst du dazu nicht.
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes mal die Höhe. Dazu dachte ich mir, brauche ich die ganz oben gezeigte kurze gestrichelte Strecke.
Dann kann ich ja auch ß einfahch berrechnen.



Zitat:
Original von etzwane
Zitat:
Original von YetiOkay, nun liegt ja Punkt P auf c.


Wie groß ist der Winkel im Dreieck zwischen den Seiten mit den Längen 1,5 und 3?

Wie groß ist der Winkel zwischen der Seite mit der Länge 1,5 und der Winkelhalbierenden zwischen diesen Seiten?

Kannst du damit die Länge der Gegenkathete zu P berechnen?

Um... jeweils 45°!?
Ja, mit Sinnus oder Cosinus!?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du nur den Winkel berechnen willst, brauchst du nichts anderes als





Und jetzt kannst du mit oder oder oder im Dreieck den Winkel berechnen.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yeti
Um... jeweils 45°!?


Bitte, mach jetzt mal eine genaue Skizze (oder stell sie dir zumindest vor). Die Grundfläche der Pyramide ist doch ein gleichseitiges Dreieck.
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold.. ja, aber ich brauche doch auch die Höhe..


@etzwane: Moment, es geht jetzt doch um das halbierte Gründdreieck.
Das ist doch nicht gleichseitig... verwirrt


Bin in das Thema gerade erst eingestiegen..
Brauche das zu morgen, könnt ihr mir nicht einfach genau schreiben, wie ich an die Höhe dran komme?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Gleich macht es hoffentlich Klick ....

Der Winkel zwischen den Seiten mit Länge 1,5 und 3 ist 60°, da ein Winkel aus einem gleichseitigem Dreieck.

Der Winkel zwischen der Seite 1,5 und der Winkelhalbierenden ist dann 30°.

Mit der Seite 1,5 und dem Tangens der Winkel kannst du somit die gesamte Höhe im Grunddreieck ausrechen sowie die Höhe im kleineren Dreieck von Seite 1,5 bis P.

Rechne mit und
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
Der Winkel zwischen den Seiten mit Länge 1,5 und 3 ist 60°, da ein Winkel aus einem gleichseitigem Dreieck.

Gut, das ist nachvollziehbar für mich, verstehe es.

Zitat:
Original von etzwane
Der Winkel zwischen der Seite 1,5 und der Winkelhalbierenden ist dann 30°.

Okay...


Zitat:
Original von etzwane
Mit der Seite 1,5 und dem Tangens der Winkel kannst du somit die gesamte Höhe im Grunddreieck ausrechen sowie die Höhe im kleineren Dreieck von Seite 1,5 bis P.

Rechne mit und

So, ab hier versteh ich rein gar nix mehr!
Was rechnest du hier? gleich die Höhe"h"? (siehe erste Grafik!)
Oder die Strecke zu P? (siehe erste Grafik!)
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte das halbe Grunddreieck deiner letzten Skizze.

Welche Strecke ist mit 1,5*tan(60°) gemeint?

Welche Strecke ist mit 1,5*tan(30°) gemeint?

Und die Differenz von beiden?
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ich denke beide beziehen sich auf die Hypothenuse.
1,5*tan(60°) ist der längere Teil, 1,5*tan(30°) der kürzere.
Die Differenz 1,7321 cm ist meine gesuchte gestrichelte Strecke..!?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

die von dir errechnete Differenz für die gesuchte Strecke stimmt nicht

EDIT: die Differenz stimmt doch ...
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Habe folgendes gerechét:

1,5 * tan60 = 2,5981

1,5 * tan30 = 0,8660

2,5981-0,8660 = 1,7321?

Wo ist der Fehler?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

deine Werte stimmen, ich hatte den Faktor 1,5 nicht berücksichtigt, sorry.
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen, vielen Dank!!!

Bei dem WInkel ? habe ich 58,1791 raus.
Habe da ein weiteres Dreieck eingefügt. die Länge der äußersten Kante, 3 ist ja schon gegeben, die Länge der Höhe, 3,4645 nun auch.
Dann habe ich einen Strich unten gezogen und dessen Länge über Phythagoras gerechnet, 3,5305.
Dann sinß = 3/3,5305
ß = 58,1832

Hoffe, meine Lösungen sind jetzt alle richtig.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Was rechnet 'ihr' eigentlich überhaupt

Leopold hat doch eine sehr schöne Lösung angeregt

ctan(b) = a/(a/sqrt(2)) = sqrt(2)

b = 35.262°
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Was rechnet 'ihr' eigentlich überhaupt


Es ging ja auch noch um die Höhe...


Zitat:
Original von Poff
arcctan(b) = a/(a/sqrt(2)) = sqrt(2)

Außerdem habe ich absolut keine Ahnung, was das heissen soll!
Kannst du das mal irgendwie umformulieren oder so?
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, verstehe es immer noch nicht. was heisst sqrt?? traurig
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mich leicht verschrieben, ist schon editiert.

d.h. cotangens(beta) = wurzel(2)
und damit

beta = 35.262°

mit tan ginge das ebenfalls wenns dir mit dem cot nicht passt,
sorry bemerke eben erst dass ich cot als ctan abgekürzt habe,
na kommt halt alles mal vor lag daran dass ich das direkt über
die Umkehrfunktion angeben wollte, aber leider ein Schluderfehler
dabei gemacht habe.
.





ich wollte eigentlich das schreiben
b(eta) = arcctan(sqrt(2)) = arccot(sqrt(2))

aber vergiss es, das verwirrt nur
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber.. Wo nimmst du die Wurzel 2 her??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

das ergibt sich doch aus 'Leopolds Bild'

Die Größe der Würfelkante ist Würfeldiagonale/sqrt(2) und die
Würfeldiagonale ist deine Tetraederseite, deren Wert aber garnicht
gebraucht wird.

der cot des Winkels beta ist (Dreieck ACB)

cot(beta) = Tetraederseite/Würfelkante=
=Tetraederseite/(Tetraederseite/sqrt(2)) = sqrt(2)

fertig das wars
Yeti Auf diesen Beitrag antworten »

Warum Würfeldiagonale/ Wurzel2?
Wie kommst du darauf?

Cotangens hatten wir noch nicht, aber egal, hab mir das im Mathebuch durchgelesen und rechne es jetzt damit. Wie mache ich das denn?
Ist das dies tan^-1? Suche die Taste dafür auf dem Taschenrechner..
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Die Diagonale d in einem Quadrat mit der Seite a ist

d = sqrt(a^2+a^2) = a*sqrt(2) (Pythagoras)
daraus folgt

Seite = d/sqrt(2) = Diagonale/sqrt(2)

das entsprechend umgesetzt an deinem Problem ergibt es
das gepostete ...



geht genausogut mit tan dann heißt es halt

tan(beta) = 1/sqrt(2)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt natürlich das hier wissen. Und da steckt ja nur der Pythagoras dahinter. (Diese Grundformeln beim Würfel sollte man aber auch auswendig kennen. Sie stehen aber sicher auch in jeder Formelsammlung.)

Und dann kannst du nehmen, was du willst:







etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Was rechnet 'ihr' eigentlich überhaupt

Leopold hat doch eine sehr schöne Lösung angeregt

ctan(b) = a/(a/sqrt(2)) = sqrt(2)

b = 35.262°


Was nutzt die schönste Rechnung, wenn man auf den eigenen Lösungsweg fixiert ist, und den vorgeschlagenen anderen Lösungsweg weder überblickt noch versteht.

Ich jedenfalls finde, Yeti ist sein Problem direkt und ganz elementar angegangen, und habe daher versucht, auf ihn einzugehen und ihn bei seinem Lösungsweg zu unterstützen. Und wenn es nicht so spät gewesen wäre, hätte er sicher auch das richtige Ergebnis von beta=arcsin(1,7321/3) herausbekommen.
Und vor allen Dingen, er versteht seinen Lösungsweg (hoffentlich). Während das mit dem umbeschriebenen Würfel doch schon etwas Abstraktionsvermögen erfordert, oder nicht?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

'etzwane',

du hast völlig recht, ich wollte da auch nicht reinplatzen hab mich
nur enorm gewundert, dass da nach mehreren vergangenen
Stunden immer noch dran gerechnet wurde und 'yeti' zudem
genau in diesem Moment auch noch ne falsche Lösung gepostet hat.

Darauf wollte ich nur mit dem richtigen Wert für beta antworten,
sonst nichts. Das zuvor abgelaufene hab ich mir nicht näher angesehen
... wollte nichts rumlenken, sondern nur den richtigen Wert liefern
und dabei betonen wo der herkommt.

Das wars. Als ich dann selbst ein ungutes Gefühl dabei bekam, hab
ich mir das Abgelaufene nochmal näher angesehen und erst richtig
geärgert dass ich meine Klappe nicht gehalten hab ...


Sorry, so war das nicht gewollt.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff

ist schon ok, ich habe ja auch erst durch dein Ergebnis gesehen, dass Yeti nicht richtig gerechnet hatte, aber da war ich schon viel zu müde und unkonzentriert, und selbst hatte ich ja nicht mitgerechnet, nur so im Kopf ein bißchen.
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