stochastische konvergenz

21.05.2007, 13:53	konv	Auf diesen Beitrag antworten »
stochastische konvergenz hallo, die aufgabenstellung ist folgende: $\begin{eqnarray} f_n,~g_n \end{eqnarray}$ messb. reellwertige funktionen auf einem maßraum $\begin{eqnarray} (\Omega,A,\mu) \end{eqnarray}$ . es gilt $\begin{eqnarray} \mu(\Omega)<\infty \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f_n\rightarrow f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_n\rightarrow g \end{eqnarray}$ (beide konvergieren stochastisch). zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} f_ng_n\rightarrow fg \end{eqnarray}$ . das heisst ich muss zeigen das: $\begin{eqnarray} lim~\mu(\|f_ng_n-fg\|>\epsilon)=0 \end{eqnarray}$ ist. wie sollte ich da am besten vorgehen?
21.05.2007, 14:58	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: $\begin{eqnarray} \| f_ng_n -fg\| = \|f_ng_n - f_ng + f_ng - fg\| \leq \|f_n\|\|g_n-g\| + \|g\|\|f_n-f\| \end{eqnarray}$
21.05.2007, 15:31	konv	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke. also ich komm dann auf: $\begin{eqnarray} lim~\mu(\|f_n\|\|g_n-g\|>\epsilon)+lim~\mu(\|g\|\|f_n-f\|>\epsilon)=0 \end{eqnarray}$ kann ich das so überhaupt anschreiben?

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